Vértice e bissectriz de um ângulo

 

Um ângulo é um conjunto de pontos, e o vértice e os lados do ângulo fazem parte desse conjunto.

Um ângulo divide o plano em duas partes não limitadas.

    -   As semi-rectas  ĊB  e  ĊA  são os lados do ângulo ACB

    -  C  é o vértice do ângulo ACB (a origem comum das semi-rectas que formam um ângulo chama-se vértice do ângulo ).

                                        

A bissectriz de um ângulo divide o ângulo em duas partes iguais.

ĊV  é a bissectriz do ∢ACB.

Os  ∢ACV  e  ∢VCB  são geometricamente iguais.

Nota que: ∢ = ângulo

Transferidor

Um transferidor é uma régua especial que serve para medir os ângulos ao longo de uma circunferência. Com o teu transferidor podes agora traçar uma meia circunferência e medir os ângulos quando percorres a circunferência a partir do lado direito. O pontinho negro que está marcado no transferidor é o centro da circunferência.

Na figura estão traçados os ângulos de 0 graus, 30 graus, 60 graus e 90 graus. Meia circunferência são 180 graus e uma circunferência completa são 360 graus.  Quando o Sol está mais alto no céu, o ângulo que o Sol faz com a linha do horizonte é maior.  Ao nascer  e ao pôr do Sol, ele está deitado no horizonte e o seu ângulo é muito pequeno.  A linha dos 0 graus é a linha do horizonte.

Rectas paralelas e concorrentes

Lembras-te  da disciplina de EVT que:

                                                               

As rectas são  conjuntos de pontos.

Uma recta é definida por dois dos seus pontos. Também se representa uma recta por uma letra minúscula:  r , s , t ,...

Recta CD ou recta r

ĊD  representa a semi-recta de origem  C  e que contém o ponto  D .

• [RS]  representa o segmento de recta cujos extremos são os pontos  R  e  S . Um segmento é um conjunto de pontos.
  Pertencem ao segmento de recta  [RS]  os pontos  R ,  S  e todos os pontos da recta  RS  situados entre  R  e  S .
  
  
• O comprimento do segmento de recta  [PQ]  representa-se por  PQ  ou  QP  .

  PQ  = 3 cm.

Posição relativa de 2  rectas no plano:

A- Rectas paralelas:  

Duas rectas do plano dizem-se paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou se forem coincidentes.

A1 - Rectas estritamente paralelas: 

Duas rectas do plano dizem-se estritamente paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum:

a // b

A2 -  Rectas coincidentes:

Duas rectas do plano dizem-se coincidentes (paralelas) se tiverem todos os pontos em comum:

                    c ≡ d    (lê-se: coincidentes)

 

 

B: Concorrentes:   Duas rectas do plano dizem-se concorrentes se tiverem um e um só ponto comum.

 B1 - Perpendiculares: 

Duas rectas do plano dizem-se perpendiculares (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e formarem um ângulo de 90º.

 r _|_ s

B2 - Oblíquas: 

Duas rectas do plano dizem-se oblíquas (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e se um dos ângulos formados for inferior a 90º e superior a 0º.

 

Ângulos

Já alguma vez leste um livro, ou viste um filme onde se procuram tesouros?

Imagina que tu  és um desses exploradores. 

"Anda 10 passos e vira 90º para a direita. Anda mais 5 passos e vira outra vez 90º para a direita. Anda mais 10 passos e vira 90º à direita. Volta a andar mais 5 passos e vira mais 90º para a tua direita." 

Surpreendido? Verifica, num papel qual a tua posição.

Para poderes responder a este desafio deves saber de que estamos a falar de  ângulos e  graus.

 

O ângulo é uma região do plano composta pela abertura de duas semi-rectas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é medida em graus, a que damos o nome de amplitude.

Num polígono qualquer, como os que podes ver mais abaixo, podemos ter dois tipos de ângulo, os internos a verde e os externos a vermelho.

Tipos de ângulos

De acordo com a amplitude de cada ângulo podemos classificá-lo como:

Ângulo reto quando  a sua medida é igual  a  90º.

Nota:  Estas duas retas concorrentes de ângulos adjacentes também se chamam de retas PERPENDICULARES.

 Ângulo  agudo  quando  a sua medida é menor que a medida de um ângulo reto de 90°. 

Exemplo:

 



Ângulo obtuso  quando  a sua medida é maior que a medida de um ângulo reto de 90°. 

Exemplo:

 Ângulo raso  quando  a sua medida é igual  a  180°.

        

Concluindo:

• Ângulo raso: tem de amplitude 180º.

• Ângulo obtuso:  tem amplitude compreendida entre 90º e 180º.

• Ângulo recto:  tem uma amplitude de 90º

•  Ângulo agudo: Ângulo cuja amplitude é maior do que 0° e menor do que 90°

 
Também existe o  Ângulo giro que  tem de amplitude 360º.

A geometria na natureza

A Matemática na vida das abelhas   

"Pode parecer uma pergunta tonta mas, as abelhas saberão matemática?

O matemático grego, Papus  de Alejandría, matemático grego que viveu do ano 284 ao 305, terá respondido que sim!

O senhor Papus baseou esta afirmação na forma hexagonal que as abelhas dão aos favos.

As abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam de o guardar em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço.

Se só o podem fazer utilizando triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais difíceis de construir?

A resposta é um problema isoperimétrico (de igual perímetro). Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o  maior número de lados.

Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel.

Agora a pergunta: E quem é que ensinou isto às abelhas?.."

Planificação dos sólidos platónicos (tetraedro, icosaedro, dodecaedro)

3-     TETRAEDRO (Fogo):

O tetraedro, que simbolizava o fogo, tem quatro faces iguais

(triângulos equiláteros), quatro vértices e seis arestas.

A planificação deste poliedro regular é a seguinte:

4-   ICOSAEDRO (Água):

Este poliedro regular tem vinte faces iguais (triângulos

equiláteros), doze vértices e trinta arestas. 

A planificação do icosaedro é:

     5-     DODECAEDRO (Universo):

O dodecaedro tem doze faces iguais (pentágonos regulares),

vinte vértices e trinta arestas.   

A planificação deste poliedro é a seguinte:

Existe uma relação entre os elementos dos poliedros regulares. De facto, pode verificar-se que: 

Nome	V	A	F
Tetraedro	4	6	4
Hexaedro	8	12	6
Octaedro	6	12	8
Dodecaedro	20	30	12
Icosaedro	12	30	20

onde,

V = número de vértices do poliedro

A = número de arestas do poliedro

F = número de faces do poliedro.

Assim, os sólidos de Platão verificam  também a seguinte igualdade, conhecida como Fórmula de Euler:

                                          F + V = A + 2

EXERCÍCIOS SOBRE PLANIFICAÇÕES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

EXERCÍCIOS SOBRE PLANIFICAÇÕES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS