Potências de base e expoente natural

Potência

Uma potência é uma multiplicação em que todos os factores são iguais.

A  vantagem da utilização das potências é a possibilidade de representar   números grandes  de forma simples, facilitando a sua leitura e os cálculos necessários.

No exemplo  seguinte repara que :

5 x 5 x 5, indicada por 5³, ou seja; 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

• 5 é chamado de base (factor que se repete)
• 3 é chamado de expoente (indica o número de vezes que repetimos a base)
• 125 é a potência (resultado da operação)

Leitura das  potências:

5² = 5 x 5 = 25  Cinco elevado à segunda potência ou cinco ao quadrado.

4³ = 4 x 4 x 4 = 64   Quatro elevado a terceira potência ou quatro ao cubo.

2⁴   = 2 x 2 x 2 x 2 = 16   dois elevado à quarta potência

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243  três elevado à quinta potência

Exercícios resolvidos:

1- Sendo 4³ = 64:

• a) Qual é é a base?      
• b) Qual  é o expoente?  
• c) Qual  é a potência?    

Respostas: a) 4   b)3    c) 64

2 – Escreve na forma de potência:

• a) 5 x 5  =        
• b) 3 x 3 x 3 =     
• c) 7 x 7 x 7 =      
• d) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =   

Respostas: a) 5 ²   b)3³    c) 7³  d) 2⁵ 3 – Calcula as potências:

• a) 2³            
• b) 4²                
• c) 5⁴              
• d) 1⁶              
• e) 6²
• f) 24¹

Respostas: a) 2 x 2 x 2 = 8   b) 4 x 4 = 16    c) 5 x 5 x 5 x 5 = 625   d) 1x1x1x1x1x1=1

                    e)  6 x 6 = 36   f) 24

Observação:

•  Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
•  Todo número elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1 (um).

Calcular de maneiras diferentes

O Breno, o Bruno e a Rita  resolveram contar os pacotes de leite escolar que 
sobraram, no último dia de aulas antes das férias da Páscoa. Na arrecadação da 
escola contaram 9 paletes, cada uma com 24 pacotes de leite.

E agora como vamos fazer para calcular o número de pacotes de leite? – Pergunta
o Breno.
Tenho uma ideia! Cada um vai calcular como quer e depois vemos se encontramos 
o mesmo número! – Propõe o Bruno. 
Está bem! – Diz o Breno e a Rital, ao mesmo tempo.


O cálculo do Breno
9 × 2 4 = (1 0 ×2 4)  - (1 ×2 4)
                 2 4 0   -    2 4 
9 × 2 4 =    2 1 6


O cálculo da Rita

9 x 24 = 9 x 20 + 9 x 4 =
         = 20x9 + 4x9
         = 180  +  36
         = 2 1 6

 O cálculo do Bruno

 Compreendes como calcularam O Breno, o Bruno e a Rita? Compara as 

diferentes formas de calcular

Propriedades da Multiplicação

1- Propriedade comutativa:

4 × 5 = 5 × 4  Pode trocar–se a ordem dos factores que o valor do produto não se altera.

2- Propriedade associativa: 

(4 × 5) × 7 = 4 × (5 × 7) Pode substituir-se dois ou mais factores pelo seu produto que o valor do produto não se altera.

3- Propriedade da existência do elemento neutro:

4 × 1 = 1 × 4 = 4 Quando um dos factores é um (1), o produto é igual ao outro factor.

 A unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação.

 

4- Propriedade da existência do elemento absorvente:

 4 × 0 = 0 × 4 = 0 Quando um dos factores é zero, o produto é igual a zero.

Zero é o elemento absorvente da multiplicação.

5- Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

 exemplos:     4 × (5 + 3) = 4 × 5  +  4 × 3

                                    =  20    +    12

                                    =  32

                    3 x ( 20 + 7) = 3 x 20   +  3 x 7

                                     =     60     +    21

                                     =    81

Divisão

A divisão pode estar associada a várias ideias: como  partilha, como medida ou como razão.

1- Ideia de partilha:

Exemplo: 

A  Inês que faz hoje anos, comprou 48 chocolates para distribuir igualmente pelos seus colegas de turma:

Quantos  chocolates receberá cada aluno da turma?

                          48 : 12 = 4    pois  4 x 12 = 48 chocolates

Cada aluno receberá 4 chocolates.

2- Ideia de medida:

Se os chocolates forem comprados em  embalagens de  6 unidades cada, quantas embalagens irá  a Inês comprar?

                  

                              48 : 6 = 8     pois   8 x 6 = 48 embalagens

A Inês irá comprar 8 embalagens.

3- Ideia de razão:

A Inês  acabou por comer ao todo 12 chocolates, pois já tinha recebido outros chocolates de prenda de alguns colegas. E os colegas comeram 4 chocolates cada. Se comparamos os números, o que podes observar?

                                   12: 4 = 3

A Inês comeu o triplo  dos chocolates  (três vezes mais)  dos seus colegas.  Pois,  fazia anos...

Identidade fundamental da divisão

O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente.

Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

 Na divisão de números naturais, não te esqueças que:

.  O divisor deve ser menor do que o dividendo.

       exemplo:     37 : 5 =  7 

. O dividendo é o produto do divisor pelo quociente mais o resto. 

       exemplo:   35 = 5 x 7 + 2



A isto chamamos IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO:
    
          Dividendo = divisor  x  quociente   +  resto   
                                                                         (resto é sempre menor que o Divisor)

NOTA: para teres a certeza que a divisão está correcta, basta verificar  se é válida a identidade fundamental da divisão.

Multiplicação de Números naturais

A multiplicação pode ser associada a duas ideias:

1- À ideia de adição de parcelas iguais:

 exemplo: Qual o número de  queques de laranja deste prato?

4 + 4 + 4 = 12   ou  3 + 3 + 3 + 3 = 12

 4    x    3   =   12

                                                   Factores          Produto

2- À ideia de adição como combinação:

No bar da escola  da Beatriz a fruta estava em promoção. 

"leva um iogurte de pêssego ou morango e ganha: 

  1 taça de morangos ou 1 laranja ou 1 pêra ou  1 maçã ou 1 ameixa "

Uma das formas de resolver o problema é fazer uma tabela ou esquema:

  Se a Beatriz escolher iogurte de pêssego tem  4 combinações possíveis.

 

 E se escolher iogurte de morango também tem 4 combinações possíveis.

Logo, há 2 x 4 = 8 possibilidades de escolha 

Tabela da adição...curiosidade

Para somar dois números, com a tabela, um  numa linha e outro  numa coluna, basta fixar um número na primeira coluna e um segundo número na primeira linha.

 Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

Exemplo:
se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está na intersecção da linha do 7 com a coluna do 6.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

Propriedades da adição

A adição é a operação fundamental da Aritmética que  tem como finalidade reunir num um só número, todas as unidades de dois ou mais números.

   

 As propriedades da adição são a associatividade, a comutatividade e a existência de elemento neutro.

 

     Propriedades da Adição

 

•  Associativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

                  Exemplo:

                         ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9

•  Comutativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

                  Exemplo:

                         2 + 6 = 6 + 2 = 8

•   Elemento Neutro

                 Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

                Exemplo:

                         9 + 0 = 0 + 9 = 9

Números naturais, números consecutivos

Conjunto dos números naturais (IN)

IN={1, 2, 3, 4, 5,...}

O conjunto dos números naturais é infinito pelo que, antes de se fecharem as chavetas,  colocam-se  as reticências.

O zero não é um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem. 

 Se  incluirmos o zero neste conjunto, o seu símbolo será alterado, passando a ser ℕ₀, isto é:

ℕ₀ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Todo o número natural  tem um sucessor, considerando também o zero.

O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.

             Exemplos:

                     O sucessor de 0 é 1.

                     O sucessor de 5 é 6.

                     O sucessor de 26 é 27.

    Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

             Exemplos:

                    1 e 2 são números consecutivos

                    12 e 13 são números consecutivos

   Vários números formam uma colecção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

            Exemplos:

                    1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são números consecutivos

                    22, 23, 24, 25 e 26 são números consecutivos

   Para todo o número natural dado, este tem um antecessor (número que vem antes do número dado), com a excepção do zero.

            O antecessor de m é m - 1 se, m é um número natural finito diferente de  zero.

            
Exemplos:

                                       O antecessor de 24 é 23
                                       O antecessor de 3 é 2
                                       O antecessor de100 é 99
                      

Escrita de números na forma numérica

Leitura e escrita de números inteiros

Recordas-te do 1º Ciclo que:

• Por extenso: mil trezentos e cinquenta e duas unidades.
• Por classes: um milhar, trezentas e cinquenta e duas unidades.
• Por ordem: uma unidade de milhar, 3 centenas, 5 dezenas e 2 unidades

Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a esquerda.
O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos.
Cada grupo de algarismos representa uma classe.

Da direita para a esquerda:
- A primeira classe é a das unidades.
- A segunda classe é a dos milhares.
- A terceira classe é a dos milhões.

centenas	dezenas	unidades	cent. de milhar	dez. de milhar	unid. de milhar	centenas	dezenas	unidades
5	3	2	6	9	3	4	1	7
classe dos milhões			classe dos milhares			classe das unidades

532 milhões, 693 milhares, 417 unidades

• Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas.
• Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades.
• As classes têm de ser formadas por três algarismos, excepto a última, a da esquerda, que pode ter só dois ou um algarismos.

Um pouco de história sobre os números...

O Mundo Árabe é uma região rica em cultura e tradições, que participou activamente no desenvolvimento da cultura  Europeia desde a Idade Média até o Século XV.

Da cultura grega, por exemplo, os árabes inteiraram-se da Matemática, da Filosofia, das Ciências, ampliando-as fundamentalmente pela incorporação de novos conceitos no campo da Aritmética e da Álgebra .

  

A representação dos  algarismos árabes foi sujeita a diversas interpretações fantasiosas que estavam associadas à ideia do número representado:

Em 2011, vamos tentar...

Bom Ano Novo....

Após um merecido descanso, vamos iniciar o segundo período e só posso  desejar a todos  muitas felicidades e sonhos realizados no Novo Ano 2011... 

Espero que tenham aproveitado as férias de Natal para descansar e brincar, pois este período é muito longo e de certeza que nos aguardam muitas surpresas agradáveis... Bom estudo!!!