Numeral misto. Adição e subtração com numerais mistos

O  numeral  misto ( ou número misto),  é outra forma de representação de uma fração imprópria . São chamados de números mistos por misturar um número inteiro com uma fração.

Observa a figura abaixo:

A fração que representa a parte colorida da figura é:

Repara  que é uma fração . Agora, nota que  como podes escrever a parte colorida da figura utilizando um número misto:

Podes verificar  que uma das figuras foi colorida completamente( inteira ou unidade). Já o outro rectângulo, das seis partes, apenas duas foram pintadas.

Dessa forma, temos o númeral misto:

Observa as figuras abaixo e os números mistos que representam a parte que foi colorida.

Podemos  pensar numa situação do nosso dia-a-dia.

                                    

Imagina que o Ailton, o Ronaldo, o Bruno, o Gonçalo, o Nelson, O Rodrigo, o apostol, o Rubén e o Adelino  saíram para comer pizza. Decidiram pedir duas pizzas divididas com  8 fatias cada. Eles conseguiram comer uma pizza inteira e 6 pedaços da outra. 

O número misto que representa a quantidade de pizza que os 5 amigos comeram juntos é:

Sempre que tivermos uma quantidade não inteira maior que 1, podemos utilizar um numeral misto para representar essa quantidade.

Mais um exemplo :  o Bruno tomou dois copos e meio de água

Outro exemplo:

o Bruno  está a preparar cachorros para o seu lanche e de mais 5 dos seus amigos. 
Ao ver que só tem uma lata com 8 salsichas, ficou um bocado indeciso. 

Como é que pode repartir as salsichas de modo a que todos os cachorros fiquem iguais?  

Utilizando um esquema:

Cada um fica com 1 salsicha mais um terço de salsicha.

ou seja, sob  a forma de numeral misto,

 Adição e subtração com numerais  mistos:

Vamos relembrar alguns conceitos:

-Fração Própria: é toda fração que representa uma quantidade menor que 1 ou seja,  o numerador é  menor que o denominador;

      

         Exemplos de frações próprias:

-Fração Imprópria: é toda fração que representa uma quantidade maior que 1, ou seja  o numerador é maior que o denominador;

Exemplos de frações impróprias:

- Fração Aparente: é um tipo especial de fração imprópria.

 Apresenta duas características: uma quantidade inteira e o numerador é múltiplo do denominador.

Exemplos de frações aparentes:

Propriedades da adição de números naturais. Propriedades da adição de números racionais

A adição é a operação fundamental da Aritmética que  tem como finalidade reunir num um só número, todas as unidades de dois ou mais números.

   

 As propriedades da adição são a associatividade, a comutatividade e a existência de elemento neutro.

     



Propriedades da Adição DE NÚMEROS NATURAIS:

•  Comutativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

                  Exemplo:

                         2 + 6 = 6 + 2 = 8

•  Associativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

                  Exemplo:

                         ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) 
                              5  + 4 = 2 + 7
                                 9 = 9

•   Elemento Neutro

                 Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

                Exemplo:

                         9 + 0 = 0 + 9 = 9

Resumindo:

1- Propriedade comutativa:

4+ 5 = 5 + 4 
 Pode trocar–se a ordem das parcelas que o valor da soma não se altera.

2- Propriedade associativa: 

(4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7) 
Pode substituir-se duas ou mais parcelas  pela seu soma  que o valor da soma  não se altera.

3- Propriedade da existência do elemento neutro:

4 + 0 = 0 +  4 = 4
 Quando uma das parcelas é 0 (zero), a soma  é igual à  outra parcela.

 o zero  é o elemento neutro da adição.




Vejamos agora as propriedades para os números racionais, como poderás verificar, as propriedades da adição são as mesmas:

Concluindo,

Adição e subtração de números racionais (frações)

Só podemos  adicionar ou subtrair fracções, se tiverem o  mesmo denominador, para isso  somam-se ou subtraem-se  os numeradores e mantém-se o denominador.

1º  Frações com  denominadores iguais : 

 NB:  Só podemos  adicionar ou subtrair  frações com o mesmo denominador e mantemos sempre o mesmo denominador.




   2º  Se os denominadores forem diferentes, deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador antes de as adicionar ou  subtrair.
 

RECORDA QUE:

• Os números inteiros têm  sempre  como denominador o 1.
• Entre os vários denominadores, escolham o denominador maior.
• Depois procurem os múltiplos desse denominador que sejam múltiplos também dos outros denominadores.
• O primeiro que encontrarem é o menor denominador comum.
• Convertem-se todas as frações em frações equivalentes com esse  denominador.      

                          

Lembrem-se que:

-  devem multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número;

-  só  PODEM adicionar ou subtrair  as frações, se tiverem o mesmo denominador. 

Para somar fracções com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores das frações. 

Exemplo:  para  somar as frações

Obtemos o mmc dos denominadores:

 temos mmc (5,2) = 10.


                          




Recordam-se de que só se podem adicionar ou subtrair  frações com o mesmo denominador.

      Se os denominadores forem diferentes, deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador antes de as adicionar ou  subtrair.
 

RESUMINDO:

• Os números inteiros têm  sempre  como denominador o 1.
• Entre os vários denominadores, escolhe o denominador maior.
• Depois procura os múltiplos desse denominador que sejam múltiplos também dos outros denominadores.
• O primeiro que encontrarem é o menor denominador comum.
• Converte todas as frações em frações equivalentes com esse  denominador.      

    
                      

Lembrem-se que:

- devem multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número;

-  só  PODEM adicionar ou subtrair  as frações, se tiverem o mesmo denominador. 

Observa os exemplos: 




Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos denominadores das frações. 

Para  somar as frações

Temos que obter o m.m.c. dos denominadores : mmc (5,2) = 10.


                          

Outro exemplo:

Múltiplos de um número natural : Chamamos  múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. 

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 
2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2 x 4 = 8 
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
2 x 7 = 14 
2 x 8 = 16 
2 x 9 = 18 
2 x 10 = 20 
E assim sucessivamente. 

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 
3 x 0 = 0 
3 x 1 = 3 
3 x 2 = 6 
3 x 3 = 9 
3 x 4 = 12 
3 x 5 = 15 
3 x 6 = 18 
3 x 7 = 21 
3 x 8 = 24 
3 x 9 = 27 
3 x 10 = 30 
E assim sucessivamente.

Ou seja,

Os múltiplos  de 2 são:   M₂=( 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ...) 


E os múltiplos de 3 são: M₃= (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... )

Observa  que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. 

Múltiplos de 4:   M₄= (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...)


Múltiplos de 5: M₅= (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...)

Relembrando os múltiplos já podemos calcular o Mínimo múltiplo comum:

O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:
Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M₃₀ = 0,30,60,90,120,150, ...

• M₆₀ = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que :
 mmc (30,60) = 60.

Exemplo de um problema com frações:


Para o o almoço,a mãe do Diogo fez uma tarte de chocolate .



O Diogo  contou aos amigos:


-Eu comi metade da torta;o meu irmão  a quarta parte e a minha mãe,a sexta parte.

Os amigos comentaram:"Não sobrou nada!".

És da mesma opinião?  Justifica.

Resposta: Não sou da mesma opinião porque sobrou uma parte, então vejamos porquê: 

                                               Para praticar, é só clicares: 

Exercícios com adição de frações com o mesmo denominador

Exercícios com adição e subtração de frações

Exercícios com adição de frações

Problemas com números racionais