Será que podemos sempre construir um triângulo?

Será que é sempre possível   construir um triângulo dados os comprimentos dos três lados?    Observa as imagens (medidas em cm).

Concluimos que  num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois.

Classificação dos triângulos

 

Os triângulos classificam-se ...

• QUANTO aos Lados:

    (3 Lados Iguais)        (2 Lados Iguais e 1 Diferente)           (3 Lados Diferentes)

TRIÂNGULO EQUILÁTERO       isósceles TRIÂNGULO                TRIÂNGULO ESCALENO

QUANTO à amplitude dos ângulos:

(3 ângulos Agudos)    (1 Angulo recto)     (1 Angulo Obtuso)

Propriedade dos ângulos externos de um triângulo

Propriedade dos ângulos internos do triângulo

Exemplo:

A soma das amplitudes dos ângulos interno de um triângulo é igual a 180º.
      120º + 35º + 25º = 180º

Elementos de um triângulo

Triângulos no dia a dia

Ângulos verticalmente opostos

Os dois ângulos assinalados têm um vértice em comum e os lados de um são o prolongamento dos lados do outro.

Por isso, dizem-se ângulos verticalmente opostos.

No mesmo vértice, forma-se outro par de ângulos verticalmente opostos:

  Os ângulos verticalmente opostos são geometricamente iguais.

Ângulos alternos - internos e externos

Ângulos alternos-externos 

 Num sistema de duas rectas paralelas cortadas por  uma  terceira,  chamada  secante,  chamam-se  ângulos  alternos-externos  aos pares a,c e b,d assinalados na figura.

Os  ângulos  alternos-externos  são  geometricamente iguais, por isso  têm a mesma amplitude; a amplitude de a é igual à de c, o mesmo sucedendo entre b e d.




Ângulos alternos-internos 

Num sistema de duas rectas paralelas cortadas por uma terceira chamam-se ângulos alternos-internos aos pares e, g e f, h assinalados na figura.

Os ângulos alternos-internos são geometricamente iguais, por isso têm a mesma amplitude; a amplitude de e é igual à de g, o mesmo sucedendo entre f e h.

Por isso,  concluimos que os Ângulos alternos Externos  são geometricamente iguais e os os Ângulos alternos internos também  são geometricamente iguais

Bissectriz, Ângulos adjacentes e Ângulos consecutivos

Bissectriz

A bissectriz de um ângulo divide o ângulo em duas partes iguais.

ĊV  é a bissectriz do ∢ACB.

Os  ∢ACV  e  ∢VCB  são geometricamente iguais.

Ângulos adjacentes:

 Dois ângulos  são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

Ângulos consecutivos:

Observa  a figura:

                   Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.
 

Verifica que, em cada uma das figuras abaixo:

	Os ângulos AÔC  e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:
	Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:
	Os ângulos CÔB  e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC  e CÔB, AÔC  e AÔB, CÔB  e AÔB são denominados ângulos consecutivos.

Concluimos que dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Ângulos complementares e suplementares

 Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas amplitudes for igual a 90º .

Dois ângulos  são suplementares se a soma das suas amplitudes for igual a 180º.

 

Vértice e bissectriz de um ângulo

 

Um ângulo é um conjunto de pontos, e o vértice e os lados do ângulo fazem parte desse conjunto.

Um ângulo divide o plano em duas partes não limitadas.

    -   As semi-rectas  ĊB  e  ĊA  são os lados do ângulo ACB

    -  C  é o vértice do ângulo ACB (a origem comum das semi-rectas que formam um ângulo chama-se vértice do ângulo ).

                                        

A bissectriz de um ângulo divide o ângulo em duas partes iguais.

ĊV  é a bissectriz do ∢ACB.

Os  ∢ACV  e  ∢VCB  são geometricamente iguais.

Nota que: ∢ = ângulo

Transferidor

Um transferidor é uma régua especial que serve para medir os ângulos ao longo de uma circunferência. Com o teu transferidor podes agora traçar uma meia circunferência e medir os ângulos quando percorres a circunferência a partir do lado direito. O pontinho negro que está marcado no transferidor é o centro da circunferência.

Na figura estão traçados os ângulos de 0 graus, 30 graus, 60 graus e 90 graus. Meia circunferência são 180 graus e uma circunferência completa são 360 graus.  Quando o Sol está mais alto no céu, o ângulo que o Sol faz com a linha do horizonte é maior.  Ao nascer  e ao pôr do Sol, ele está deitado no horizonte e o seu ângulo é muito pequeno.  A linha dos 0 graus é a linha do horizonte.

Rectas paralelas e concorrentes

Lembras-te  da disciplina de EVT que:

                                                               

As rectas são  conjuntos de pontos.

Uma recta é definida por dois dos seus pontos. Também se representa uma recta por uma letra minúscula:  r , s , t ,...

Recta CD ou recta r

ĊD  representa a semi-recta de origem  C  e que contém o ponto  D .

• [RS]  representa o segmento de recta cujos extremos são os pontos  R  e  S . Um segmento é um conjunto de pontos.
  Pertencem ao segmento de recta  [RS]  os pontos  R ,  S  e todos os pontos da recta  RS  situados entre  R  e  S .
  
  
• O comprimento do segmento de recta  [PQ]  representa-se por  PQ  ou  QP  .

  PQ  = 3 cm.

Posição relativa de 2  rectas no plano:

A- Rectas paralelas:  

Duas rectas do plano dizem-se paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou se forem coincidentes.

A1 - Rectas estritamente paralelas: 

Duas rectas do plano dizem-se estritamente paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum:

a // b

A2 -  Rectas coincidentes:

Duas rectas do plano dizem-se coincidentes (paralelas) se tiverem todos os pontos em comum:

                    c ≡ d    (lê-se: coincidentes)

 

 

B: Concorrentes:   Duas rectas do plano dizem-se concorrentes se tiverem um e um só ponto comum.

 B1 - Perpendiculares: 

Duas rectas do plano dizem-se perpendiculares (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e formarem um ângulo de 90º.

 r _|_ s

B2 - Oblíquas: 

Duas rectas do plano dizem-se oblíquas (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e se um dos ângulos formados for inferior a 90º e superior a 0º.

 

Ângulos

Já alguma vez leste um livro, ou viste um filme onde se procuram tesouros?

Imagina que tu  és um desses exploradores. 

"Anda 10 passos e vira 90º para a direita. Anda mais 5 passos e vira outra vez 90º para a direita. Anda mais 10 passos e vira 90º à direita. Volta a andar mais 5 passos e vira mais 90º para a tua direita." 

Surpreendido? Verifica, num papel qual a tua posição.

Para poderes responder a este desafio deves saber de que estamos a falar de  ângulos e  graus.

 

O ângulo é uma região do plano composta pela abertura de duas semi-rectas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é medida em graus, a que damos o nome de amplitude.

Num polígono qualquer, como os que podes ver mais abaixo, podemos ter dois tipos de ângulo, os internos a verde e os externos a vermelho.

Tipos de ângulos

De acordo com a amplitude de cada ângulo podemos classificá-lo como:

Ângulo reto quando  a sua medida é igual  a  90º.

Nota:  Estas duas retas concorrentes de ângulos adjacentes também se chamam de retas PERPENDICULARES.

 Ângulo  agudo  quando  a sua medida é menor que a medida de um ângulo reto de 90°. 

Exemplo:

 



Ângulo obtuso  quando  a sua medida é maior que a medida de um ângulo reto de 90°. 

Exemplo:

 Ângulo raso  quando  a sua medida é igual  a  180°.

        

Concluindo:

• Ângulo raso: tem de amplitude 180º.

• Ângulo obtuso:  tem amplitude compreendida entre 90º e 180º.

• Ângulo recto:  tem uma amplitude de 90º

•  Ângulo agudo: Ângulo cuja amplitude é maior do que 0° e menor do que 90°

 
Também existe o  Ângulo giro que  tem de amplitude 360º.