Área do círculo

Vamos relembrar que:

O círculo é a parte interna da circunferência.

A circunferência é a linha que limita o círculo. 

 No caso da circunferência, o elemento responsável pela sua área é o raio, que é determinado pela distância entre o centro da circunferência até a extremidade.

A área de uma região circular é calculada pela expressão:


Área  = π  x r² → fórmula para o cálculo da área de um circulo de raio r.


  onde r é a medida do raio e π uma letra grega de valor fixo igual a 3,14. 

Eis alguns exemplos para entender a utilização da fórmula.



Exemplo 1: 

Vamos calcular a área de uma região circular com  um raio de 10 metros. 
 

Resolução:
 raio = 10 cmπ = 3,14                Área  = ?

A = 3,14 x  10²
A = 3,14  x 100
A = 314 m²

Como estamos trabalhando com área, a unidade de medida deverá ser o metro quadrado. 

Exemplo 2: 

Determina a área de uma circunferência de raio = 20 cm. (Usa π = 3,14)

Resolução:

Se:  raio = 20 cm π = 3,14  


 Área  = ?
Área  = 3,14   x  20²
Área  = 3,14   x  400
Área  = 1256 cm²      

Exemplo3: 

 Calcula a área de uma circunferência de 30 cm de diâmetro. (Usa π = 3,14)

Resolução:
d = 30 cm → raio  = diâmetro/2 → raio = 15 cm Área = ?


Área= 3,14 X 15²
Área = 3,14  x  225
Área= 706,5 cm²

Problemas do dia-a-dia com o perímetro de círculos...

Determina quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se der 1 volta completa em torno de um canteiro circular de 2 m de raio.

Resolução:

Calcular quantos metros essa pessoa percorre numa volta.

Perímetro do circulo = 2 * π * r

P = 2 x  3,14 x  2 

P = 12,56  metros

E  se der 10  voltas completas  em torno do canteiro circular de 2 m de raio?

Resolução:

 É  só calcular quantos metros essa pessoa percorre numa volta  (12,56 m)  e depois multiplicar por 10. 

12,56 x 10= 125, 6 metros

Perímetro do círculo

Perímetro é a soma dos lados de uma figura, então como podemos dizer que uma circunferência possui perímetro se ela não possui lados? 

Dizemos que o perímetro de um círculo é o mesmo que calcular o seu comprimento, pois círculo nada mais é que uma linha fechada.


Linha aberta.


Circunferência formada por uma linha fechada.

Todas as circunferências são semelhantes entre si, pois podemos construir todas com um único centro.



Baseando-nos na figura anterior, verificamos que  que a razão entre seu comprimento C e o seu diâmetro 2 x raio (duas vezes o raio ) será sempre igual, ou seja, terá sempre o mesmo valor, independentemente do tamanho do seu comprimento e diâmetro.

Comprimento = constante (valor que nunca se altera)
2 x raio

Essa constante foi indicada pelo matemático grego Arquimedes de Siracusa como tendo o seu valor numérico aproximadamente 3,14 e simbolizado pela letra π, então:

Comprimento     =     π = 3,14
    2 x raio

Isolando o comprimento C, temos o perímetro do circulo:

Perímetro do círculo  = 2 x π x  r                  ou                                                  

 Perímetro do círculo  = Diâmetro x π 

Um pouco de história sobre o Pi (π)

O π (pi)  é dos números mais enigmáticos que alguma vez foi descoberto. Os primeiros cálculos de π terão sido feitos na Babilónia, cerca de 1800 anos a.C., que consideravam que π tinha o valor de 3, o que naquela altura era uma boa aproximação.

Em 1700 a.C., os Egípcios perceberam que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é o mesmo para qualquer circunferência, e que esse valor é nem mais nem menos π.    

 O π tem, como todos sabemos, um valor aproximado de 3,14. No entanto, ele é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. 

 Apenas podemos saber o valor aproximado do π, pois não conseguimos prever o seu valor à medida que formos considerando um número cada vez maior de casas decimais.

  Actualmente conhecem-se mais de 50 mil  milhões de casas decimais de π. 

Moda e média aritmética

Moda é o valor que aparece mais vezes numa série de valores observados.

A moda pode ser um valor numérico (quantitativo) ou não (qualitativo).

IDADE DOS ALUNOS DA TURMA A
Idade		10		11		12	13
Nº de alunos		6		13		3	2
A moda das idades é 11 (quantitativo)
COR DOS OLHOS DOS ALUNOS DA TURMA A
Cor	Azul		Verde		Castanho			Cinzento
Nº de alunos	2		3		18			1
A moda da cor dos olhos é castanha (qualitativo)

A Média aritmética é o quociente entre a soma de uma série de valores numéricos e o número de parcelas dessa soma. A média aritmética só pode ser obtida para valores quantitativos.

DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE ALUNOS POR TURMA
Nº de alunos por turma	21	25	29	30
Nº de turmas	1	4	1	9

Tabela de frequências absolutas e relativas e diagrama de barras

Fez-se um estudo do número de golos sofridos pelo guarda-redes do clube de futebol dos "espertalhões"   em 30 jogos de futebol:

 3         4         0         3         1         0         2         3         1         1      

 1         1         0         0         2         2         2         4         0         1

 0         1         1         0         0         0         2         2         1         1

Com estes dados vamos construir uma tabela de frequências absolutas e relativas.

Com os dados da tabela é possível construir gráficos de barras, usando as frequências
 absolutas:

tabelas de frequências

Vamos considerar a amostra constituída pelo número de irmãos de 20 alunos de uma turma de 5º ano:

	1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2
	tabela de frequências Número de irmãos frequência absoluta frequência  relativa  0 4 0,2 1 8 0,4 2 4 0,2 3 3 0,15 4 1 0,05 total 20 1

Estatistica

A Estatística é um ramo da Matemática que tem por objectivo obter, organizar e analisar dados.

População: Conjunto de seres com uma característica comum, sobre o qual incide um estudo estatístico.

Amostra: Parte representativa da população sobre a qual incide a observação. 


Exemplos: 
1- Quando vais ao supermercado comprar cerejas, antes de comprares, provas uma – estás a utilizar uma amostra e a concluir que, a partir do sabor de uma (amostra), qual o sabor de todas as cerejas (população).

2- Quando visitas uma cidade, contactando com alguns dos seus habitantes, e de regresso, afirmas que as pessoas daquela cidade têm determinados atributos (simpáticas, hospitaleiras, bronzeadas, altas, baixas, ricas, pobres...), estás a atribuir à população da cidade as características de uma amostra (as pessoas com quem contactaste). 


Podemos concluir que quer num exemplo quer noutro, fez-se uma sondagem (utilizou-se uma amostra) e a partir das características da amostra, identificaram-se as características da população. 

Frequência absoluta: Número de vezes que um dado acontecimento é observado. 

Frequência relativa:Quociente entre a frequência absoluta de um dado acontecimento e o número total de elementos do estudo. 


NOTA: Para obter a Frequência Relativa em Percentagem basta multiplicar por 100 a Frequência Relativa