Razões, proporções, escalas, proporcionalidade directa, percentagens - resumo do capítulo

Proporcionalidade directa- resolução de um problema com três métodos

Regra de três simples e percentagens

Uma percentagem traduz a comparação entre um número (uma parte) e o número 100 (o todo).

É uma forma de apresentar a razão entre duas grandezas de modo que o consequente seja 100, ou seja uma percentagem é uma razão com consequente 100.

Usa-se o símbolo % para representar uma percentagem.

Exemplo:


No último teste, 80% dos  20 alunos da turma obtiveram classificação positiva. Quantos alunos obtiveram classificação positiva?

Para a resolução deste exercício podemos utilizar três métodos


Método1:

Estratégia:vamos utilizar a regra de três simples, porque existe uma relação de proporcionalidade directa entre o número de alunos e as classificações positivas, ou seja sabemos que se a turma tivesse 100 alunos, 80 teriam positiva. Como a turma tem 20 alunos, vamos determinar, mantendo a proporção, quantos alunos têm positiva.


resolução:


Número de alunos                           Número total
com classificação positiva               de alunos
            80    ________________100
              x   _______________   20


x  =   80 x 20   =   1600   =  16 alunos
            100           100


No último teste, 16 alunos obtiveram classificação positiva.




Método 2:  vamos utilizar as proporções

Método 3: 


80% de 20 = 80   x  20 = 0,8 x 20 = 16 alunos
                  100


OBS: para resolver um problema que envolva percentagens, podemos sempre utilizar um dos três métodos.


Utiliza o link seguinte para calcular qualquer termo de uma regra de três simples:    regra de três simples

Escalas - regra de três simples

Nos mapas seguintes, podemos reparar que os três mapas têm escalas diferentes porque os mapas que representam uma área pequena, tem muitos pormenores pelo que  a escala utilizada, por exemplo para Portugal é de 
1 : 25 000, o que significa que 1cm no desenho representa 25 000 cm na realidade. 
 O mapa do mundo tem uma escala de 1 : 500 000 000 porque representa uma área muito grande, logo terá muito poucos pormenores.











A figura seguinte representa a planta de um apartamento na escala de 1:50 o que quer dizer que 1cm no desenho corresponde a 50 cm na realidade.





Exemplo: No projecto a varanda tem 8 cm  e a escala da planta é de 1:50, qual é o comprimento real da varanda?


Estratégia:vamos utilizar a regra de três simples, porque existe uma relação de proporcionalidade directa entre o tamanho do projecto (desenho) e o tamanho real.


resolução:


Desenho               Realidade
    1    ____________50
    8   ____________ X


x  =   8 x 50   =400 cm
            1


na realidade a varanda tem 4 m de comprimento   ( 400cm = 4m)




A Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas  que são diretamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Proporcionalidade directa

Diz-se que duas grandezas são directamente proporcionais quando a razão entre elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade directa.

Este valor constante chama-se constante de proporcionalidade directa. Se não existir esta constante não há proporcionalidade directa.




Exemplo:

O espaço percorrido por um automóvel , a velocidade constante , é directamente proporcional ao tempo de viagem.

Tempo (h)	1	2	3	4	5	6
Espaço percorrido (km)	50	100	150	200	250	300

A constante de proporcionalidade entre o espaço percorrido e o tempo é 50 e significa o espaço percorrido, em quilómetros,  numa hora.

Proporções e propriedade fundamental das proporções

Uma proporção é uma igualdade entre  duas razões. 

Considerando a, b, c e d diferentes de zero, podemos afirmar que eles representam uma proporção que se pode escrever das seguintes formas:

Exemplo:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"6 está para 8, assim como 9 está para 12".

Os números,6,8,9 e 12 são chamados de termos da proporção, onde o primeiro e quatro termos chamam-se extremos e o segundo e terceiro meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Nas razões iguais, o produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios ou vice-versa, vejamos as seguintes proporções:

	Produto dos meios = 4x30 = 120 Produto dos extremos = 3x40 = 120
	Produto dos meios = 9x20 = 180 Produto dos extremos = 4x45 = 180
	Produto dos meios = 8x45 = 360 Produto dos extremos = 5x72 = 360

       

 De modo geral, temos que:

       

 logo, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda  a proporção, o produto dos meios é sempre  igual ao produto dos extremos ou vice-versa.

OBS: podes utilizar o seguinte link para calcular o valor de x das proporções:  cálculo de proporções    (é só clicares)