Potências de base 10

A Rita soube de uma novidade sobre o Justin Bieber  que foi espalhada através do twitter. 

Essa novidade partiu de uma amiga que a espalhou a 10 amigas através do telemóvel, cada uma dessas 10 amigas telefonou para outras 10, que por sua vez contaram a novidade a outras 10 que disseram a outras 10. Cada pessoa soube apenas por um telefonema.

Quantas ligações foram feitas?

  10 + 10x10   +10x10x10  +   10x10x10x10
=10¹   +  10²      +  10³ +      10⁴
= 10 +   100 +    1000 +   10 000
=110  +  1 000  +10 000

                                  = 1 110   +  10 000
                                  = 11 110

Podemos concluir que foram feitas 11 110 ligações

10 = 10¹     dez elevado a um = dez 

10 x 10 = 100 = 10²       dez elevado ao quadrado = cem

Um número multiplicado por uma potência de base 10, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Vejamos alguns exemplos:

103	=	1000		Acrescentamos 3 zeros à direita do 1
104	=	10000		Acrescentamos 4 zeros à direita do 1

105	=	100000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 1
102	=	100		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1

Exemplos:
300  = 3 x 100= 3 x 10²

3 000= 3 x 1 000= 3 x 10³

30 000= 3 x 10 000= 3 x 10⁴

360 000 = 36 x 10 000= 36 x 10<sup>4

3 600 000 = 36 x 100 000= 36 x 105
365 000 000= 365 x 1 000 000= 365 x 106</sup>

Potência de base e expoente natural

Uma potência é uma forma de representar um produto de factores iguais:

a base indica o factor que se repete

o expoente indica o número de vezes que o factor se repete

lê-se três ao cubo ou três elevado a três

exemplo:

Numa rua há quatro árvores, em cada árvore há quatro ninhos e em cada ninho há 4 passarinhos.

Escreve sob a forma de potência e, em seguida, calcula quantos passarinhos há nas quatro árvores.

Resposta:   

4 árvores

4 ninhos

4 passarinhos

    -------->  4 x 4 x 4 = 4³ 

                  ^{16 x 4 = 64} 

^{Resposta: nas quatro árvores  há  64 passarinhos}

Vejamos, então

Uma potência é uma multiplicação em que todos os factores são iguais.

A  vantagem da utilização das potências é a possibilidade de representar   números grandes  de forma simples, facilitando a sua leitura e os cálculos necessários.

No exemplo  seguinte repara que :

5 x 5 x 5, indicada por 5³, ou seja; 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

• 5 é chamado de base (factor que se repete)
• 3 é chamado de expoente (indica o número de vezes que repetimos a base)
• 125 é a potência (resultado da operação)

Leitura das  potências:

5² = 5 x 5 = 25  Cinco elevado à segunda potência ou cinco ao quadrado.

4³ = 4 x 4 x 4 = 64   Quatro elevado a terceira potência ou quatro ao cubo.

2⁴   = 2 x 2 x 2 x 2 = 16   dois elevado à quarta potência

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243  três elevado à quinta potência

Exercícios resolvidos:

1- Sendo 4³ = 64:

• a) Qual é é a base?      
• b) Qual  é o expoente?  
• c) Qual  é a potência?    

Respostas: a) 4   b)3    c) 64

2 – Escreve na forma de potência:

• a) 5 x 5  =        
• b) 3 x 3 x 3 =     
• c) 7 x 7 x 7 =      
• d) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =   

Respostas: a) 5 ²   b)3³    c) 7³  d) 2⁵ 3 – Calcula as potências:

• a) 2³            
• b) 4²                
• c) 5⁴              
• d) 1⁶              
• e) 6²
• f) 24¹

Respostas: a) 2 x 2 x 2 = 8   b) 4 x 4 = 16    c) 5 x 5 x 5 x 5 = 625   d) 1x1x1x1x1x1=1

                    e)  6 x 6 = 36   f) 24

Observação:

•  Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
•  Todo número elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1 (um).

Divisão e identidade fundamental da divisão

O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente.



Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

Na divisão de números naturais, não te esqueças que:

.  O divisor deve ser menor do que o dividendo.

       exemplo:     37 : 5 =  7 

. O dividendo é o produto do divisor pelo quociente mais o resto. 

       exemplo:   35 = 5 x 7 + 2



A isto chamamos IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO:
    
          Dividendo = divisor  x  quociente   +  resto   
                                                                         (resto é sempre menor que o Divisor)

NOTA: para teres a certeza que a divisão está correcta, basta verificar  se é válida a identidade fundamental da divisão.

A divisão pode estar associada a várias ideias: como  partilha, como medida ou como razão.

1- Ideia de partilha:

Exemplo: 

A  Ana que faz hoje anos, comprou 48 chocolates para distribuir igualmente pelos seus colegas de turma:

Quantos  chocolates receberá cada aluno da turma?

                          48 : 12 = 4    pois  4 x 12 = 48 chocolates

Cada aluno receberá 4 chocolates.

2- Ideia de medida:

Se os chocolates forem comprados em  embalagens de  6 unidades cada, quantas embalagens irá  a Inês comprar?

                  

                              48 : 6 = 8     pois   8 x 6 = 48 embalagens

A Ana irá comprar 8 embalagens.

3- Ideia de razão:

A Ana  acabou por comer ao todo 12 chocolates, pois já tinha recebido outros chocolates de prenda de alguns colegas. E os colegas comeram 4 chocolates cada. Se comparamos os números, o que podes observar?

                                   12: 4 = 3

A Ana comeu o triplo  dos chocolates  (três vezes mais)  dos seus colegas.  Pois,  fazia anos...

Exercício de aplicação sobre a multiplicação...várias formas de calcular

O Ângelo, o Fernando e a Rita  resolveram contar os pacotes de leite escolar que sobraram, no último dia de aulas antes das férias da Páscoa. Na arrecadação da escola contaram 9 paletes, cada uma com 24 pacotes de leite.

E agora como vamos fazer para calcular o número de pacotes de leite? – Pergunta o Ângelo.

Tenho uma ideia! Cada um vai calcular como quer e depois vemos se encontramos 
o mesmo número! – Propõe o Fernando. 
Está bem! – Diz o Ângelo e a Rita, ao mesmo tempo.

O cálculo do Ângelo
9 × 2 4 = (1 0 ×2 4)  - (1 ×2 4)
                 2 4 0   -    2 4 
9 × 2 4 =    2 1 6

O cálculo da Rita

9 x 24 = 9 x 20 + 9 x 4 =
         = 20x9 + 4x9
         = 180  +  36
         = 2 1 6

 O cálculo do Fernando

 Compreendes como calcularam o Fernando,  o Ângelo e a Rita? Compara as 

diferentes formas de calcular

Propriedades da Multiplicação:comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro e elemento absorvente

1- Propriedade comutativa:

4 × 5 = 5 × 4  Pode trocar–se a ordem dos factores que o valor do produto não se altera.

2- Propriedade associativa: 

(4 × 5) × 7 = 4 × (5 × 7) Pode substituir-se dois ou mais factores pelo seu produto que o valor do produto não se altera.

3- Propriedade da existência do elemento neutro:

4 × 1 = 1 × 4 = 4 Quando um dos factores é um (1), o produto é igual ao outro factor.

 A unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação.

4- Propriedade da existência do elemento absorvente:

 4 × 0 = 0 × 4 = 0 Quando um dos factores é zero, o produto é igual a zero.

Zero é o elemento absorvente da multiplicação.

5- Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

 exemplos:     4 × (5 + 3) = 4 × 5  +  4 × 3

                                    =  20    +    12

                                    =  32

                    3 x ( 20 + 7) = 3 x 20   +  3 x 7

                                     =     60     +    21

                                     =    81

Multiplicação de Números naturais, exemplos do dia a dia...

A multiplicação pode ser associada a duas ideias:

1- À ideia de adição de parcelas iguais:

 exemplo: Qual o número de  queques de laranja deste prato?

4 + 4 + 4 = 12   ou  3 + 3 + 3 + 3 = 12

 4    x    3   =   12

                                          Factores          Produto

2- À ideia de adição como combinação:

No bar da escola  da Mónica a fruta estava em promoção. 

"leva um iogurte de pêssego ou morango e ganha: 

  1 taça de morangos ou 1 laranja ou 1 pêra ou  1 maçã ou 1 ameixa "

Uma das formas de resolver o problema é fazer uma tabela ou esquema:

  Se a Mónica escolher iogurte de pêssego tem  4 combinações possíveis.

 

 E se escolher iogurte de morango também tem 4 combinações possíveis.

Logo, há 2 x 4 = 8 possibilidades de escolha 

Propriedades da adição: comutativa, associativa e elemento neutro

A adição é a operação fundamental da Aritmética que  tem como finalidade reunir num um só número, todas as unidades de dois ou mais números.

   

 As propriedades da adição são a associatividade, a comutatividade e a existência de elemento neutro.

     



Propriedades da Adição

•  Comutativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

                  Exemplo:

                         2 + 6 = 6 + 2 = 8

•  Associativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

                  Exemplo:

                         ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9

•   Elemento Neutro

                 Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

                Exemplo:

                         9 + 0 = 0 + 9 = 9

Números naturais, números consecutivos, sucessor e antecessor..

Conjunto dos números naturais  escreve- se IN

IN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12...}

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos e é  infinito pelo que, antes de se fecharem as chavetas,  colocam-se  as reticências.

OBS: O zero não é um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem. 

 Se  incluirmos o zero neste conjunto, o seu símbolo será alterado, passando a ser ℕ₀, isto é:

ℕ₀ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Todo o número natural  tem um sucessor, considerando também o zero.

Generalizando, o sucessor de m é (m + 1) se, m é um número natural.

             Exemplos:

                     O sucessor de 0 é 1.

                 O sucessor de 5 é 6.

                 O sucessor de 26 é 27.

    Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

             Exemplos:

                    1 e 2 são números consecutivos

                    12 e 13 são números consecutivos
                    100 e 101 são números consecutivos

   Vários números formam uma colecção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

            Exemplos:

                    1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são números consecutivos

                    22, 23, 24, 25 e 26 são números consecutivos

   Para todo o número natural dado, este tem um antecessor (número que vem antes do número dado), com a excepção do zero.

            
Generalizando, o antecessor de m é (m - 1) se, m é um número natural finito diferente de  zero.

            
                                Exemplos:

                                               O antecessor de 24 é 23
                                       O antecessor de 3 é 2
                                       O antecessor de  100 é 99

Um pouco de história sobre os números...leitura e escrita de números

O Mundo Árabe é uma região rica em cultura e tradições, que participou activamente no desenvolvimento da cultura  Europeia desde a Idade Média até o Século XV.

Da cultura grega, por exemplo, os árabes inteiraram-se da Matemática, da Filosofia, das Ciências, ampliando-as fundamentalmente pela incorporação de novos conceitos no campo da Aritmética e da Álgebra .

  

A representação dos  algarismos árabes foi sujeita a diversas interpretações fantasiosas que estavam associadas à ideia do número representado:

Recordas-te do 1º Ciclo que:

 

• Por extenso: mil trezentos e cinquenta e duas unidades.
• Por classes: um milhar, trezentas e cinquenta e duas unidades.
• Por ordem: uma unidade de milhar, 3 centenas, 5 dezenas e 2 unidades

Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a esquerda.

O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos.

Cada grupo de algarismos representa uma classe.

Da direita para a esquerda:
- A primeira classe é a das unidades.
- A segunda classe é a dos milhares.
- A terceira classe é a dos milhões.

centenas	dezenas	unidades	cent. de milhar	dez. de milhar	unid. de milhar	centenas	dezenas	unidades
5	3	2	6	9	3	4	1	7
classe dos milhões			classe dos milhares			classe das unidades

532 milhões, 693 milhares, 417 unidades

• Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas.
• Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades.
• As classes têm de ser formadas por três algarismos, exceto a última, a da esquerda, que pode ter só dois ou um algarismos.

Escrita de números na forma numérica: