Para
pensar!!!
Um enigmático problema com frações
As frações têm servido de inspiração para muitos problemas que são
verdadeiros quebra-cabeças para os alunos e, às vezes, para os professores
também.
No entanto, há problemas criados com
tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes.
Vamos apresentar um desses problemas. Ele tem uma história e esta
tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir.
Tudo se passa
na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do
século X.
Nosso
herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados num único camelo, quando encontram três
homens discutindo acaloradamente.
Eram
três irmãos que tinham recebido uma herança de 35 camelos do pai:
sendo a metade para o mais velho,
a terça parte para o irmão do meio
e a nona parte para o irmão mais novo.
O motivo da discussão era a
dificuldade em dividir a herança:
O mais
velho receberia a metade.
O irmão
do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em
11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo!
O mais
novo receberia a nona parte de 35
camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!
Naturalmente,
cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la.
Ao mesmo
tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro.
Mas o
sábio Beremiz , conhecido pela sua inteligência e aptidão para resolver situações difíceis como esta, refletiu um pouco e arranjou uma solução.
Vejamos o que ele propôs:
"- Encarrego-me de fazer com justiça essa
divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal
que, em boa hora, aqui vos trouxe."
Ou seja, ficou com 36 camelos para dividir, garantindo que nenhum ficaria prejudicado porque receberia mais do que aquilo que lhe competia receber.
Os
camelos agora são 36 e a divisão é fácil:
. o mais
velho recebe: 1/2 de 36 = 18
. o
irmão do meio recebe: 1/3 de 36 = 12
. o mais
novo recebe: 1/9 de 36 = 4
Os
irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes.
Todos saem lucrando.
Ouçamos
de novo nosso matemático:
"- O
primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 +
12 + 4 = 34 camelos.
Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi
emprestado aos senhores para permitir a
partilha da herança, mas agora pode ser devolvido.
O outro camelo que sobra,
fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema
de herança."
Que
intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é
possível? De onde surgiu o camelo "a mais?
Como foi possível que sobrassem dois camelos?
Tudo se passa
na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do
século X.
Nosso
herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados num único camelo, quando encontram três
homens discutindo acaloradamente.
Eram
três irmãos que tinham recebido uma herança de 35 camelos do pai:
sendo a metade para o mais velho,
a terça parte para o irmão do meio
e a nona parte para o irmão mais novo.
O motivo da discussão era a
dificuldade em dividir a herança:
O mais
velho receberia a metade.
Acontece
que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!
O irmão
do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em
11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo!
O mais
novo receberia a nona parte de 35
camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!
Naturalmente,
cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la.
Ao mesmo
tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro.
Mas o
sábio Beremiz , conhecido pela sua inteligência e aptidão para resolver situações difíceis como esta, refletiu um pouco e arranjou uma solução.
Vejamos o que ele propôs:
"- Encarrego-me de fazer com justiça essa
divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal
que, em boa hora, aqui vos trouxe."
Ou seja, ficou com 36 camelos para dividir, garantindo que nenhum ficaria prejudicado porque receberia mais do que aquilo que lhe competia receber.
Os
camelos agora são 36 e a divisão é fácil:
. o mais
velho recebe: 1/2 de 36 = 18
. o
irmão do meio recebe: 1/3 de 36 = 12
. o mais
novo recebe: 1/9 de 36 = 4
Os
irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes.
Todos saem lucrando.
Todos
lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?
Ouçamos
de novo nosso matemático:
"- O
primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 +
12 + 4 = 34 camelos.
Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi
emprestado aos senhores para permitir a
partilha da herança, mas agora pode ser devolvido.
O outro camelo que sobra,
fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema
de herança."
Que
intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é
possível? De onde surgiu o camelo "a mais?
Como foi possível que sobrassem dois camelos?
Pensa um pouco, relê a história, tenta decifrar o mistério!!!!!!!
VAMOS ENTÃO PENSAR TODOS!!!
COMO RESOLVER ESTE ENIGMÁTICO PROBLEMA?
Va
ou
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