Multiplicar um número natural por 10, 100 e 1000

Num armazém de papel reciclado, O Nuno, o Samuel e o Leandro empilharam  as caixas  em colunas com o número máximo de 10 caixas.

Em cada caixa existem exactamente 10 embalagens contendo papel cartão, e dentro de cada embalagem existem 10 cartões.

Considerando que existem 100 colunas de caixas, o Nuno, o Samuel e o Leandro pretendem  determinar a quantidade total de:

 cartões existentes em cada caixa, coluna de caixas e no armazém.

A operação a ser realizada é a da multiplicação.

Número de cartões em cada caixa
São 10 embalagens com 10 cartões cada, então: 10 x 10 = 100 cartões em cada caixa.

Número de cartões em cada coluna
 São 10 caixas em cada coluna, se em cada caixa existem 100 cartões temos:
10 x 100 = 1000 cartões em cada coluna.

Número de cartões no armazém 

São 10 caixas em cada coluna com 100 cartões em cada caixa, portanto temos 1000 cartões em cada coluna. Sabemos que são 100 colunas, então: 100 x 1000 = 100 000.

O número máximo de cartões no armazém é igual a 100 000 cartões.



As multiplicações efectuadas podem ser realizadas utilizando regras práticas:

 Multiplicando por 10:

Quando multiplicamos um número por 10, basta acrescentarmos à direita do número um zero.

6 x 10 = 60
2 x 10 = 20
13 x 10 = 130
14 x 10 = 140
70 x 10 = 700
25 x 10 = 250

Multiplicando por 100:

Quando multiplicamos um número por 100, basta acrescentarmos à direita do número dois zeros.

2 x 100 = 200
30 x 100 = 3 000
45 x 100 = 4 500
32 x 100 = 3 200
520 x 100 = 52 000
800 x 100 = 80 000

 Multiplicando por 1000:

Quando multiplicamos um número por 1000, basta acrescentarmos à direita do número três zeros.

 54 x 1000 = 54 000
31 x 1000 = 31 000
250 x 1000 = 250 000
19 x 1000 = 19000
540 x 1000 = 540 000

10 x 1000 = 10 000

Potência de base 10

A Beatriz soube de uma novidade sobre o Justin Bieber  que foi espalhada através do twitter. Essa novidade partiu de uma amiga que a espalhou a 10 amigas através do telemóvel, cada uma dessas 10 amigas telefonou para outras 10, que por sua vez contaram a novidade a outras 10 que disseram a outras 10. Cada pessoa soube apenas por um telefonema.

Quantas ligações foram feitas?

  10 + 10x10   +10x10x10  +   10x10x10x10
=10¹   +  10²      +  10³ +      10⁴
= 10 +   100 +    1000 +   10 000
=110  +  1 000  +10 000

                                                   = 1 110   +  10 000
                                        = 11 110

Podemos concluir que foram feitas 11 110 ligações

10 = 10¹     dez elevado a um = dez 

10 x 10 = 100 = 10²       dez elevado ao quadrado = cem

Um número multiplicado por uma potência de base 10, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Vejamos alguns exemplos:

103	=	1000		Acrescentamos 3 zeros à direita do 1
104	=	10000		Acrescentamos 4 zeros à direita do 1

105	=	100000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 1
102	=	100		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1

Exemplos:
300  = 3 x 100= 3 x 10²

3 000= 3 x 1 000= 3 x 10³

30 000= 3 x 10 000= 3 x 10⁴

360 000 = 36 x 10 000= 36 x 10<sup>4

3 600 000 = 36 x 100 000= 36 x 105
365 000 000= 365 x 1 000 000= 365 x 106</sup>

Expressões numéricas - prioridade das operações

Uma expressão numérica é um seguimento de cálculos a serem efectuados, numa única linha de uma folha de caderno.

Exemplo:   2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2 

Como resolver?  

Na maioria das vezes, erramos o resultado por não se ter seguido a  ordem em que se  efectuou cada uma das contas da expressão numérica. 

Portanto precisamos sempre  de  seguir as prioridades das operações , para chegar ao resultado  correcto. 

REGRAS de Prioridade:

1.  Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.

Por exemplo:

15 + 7 + 12 -13 =

22 + 12 - 13 =

34 - 13 = 21 

    2.   Nas expressões numéricas efectuamos sempre as multiplicações antes das adições
          e subtracções.

Por exemplo: 

28 - 7 + 15 x 3

= 28 -  7 +  45

= 21  + 45

= 66

      3.   Nas expressões numéricas efectuamos a divisão antes da adição e  subtração. 

Por exemplo: 

 87 - 36 : 3 + 1

= 87 - 12 + 1

=75 + 1

= 76

      4.     Nas expressões numéricas efectuamos a multiplicação e a divisão antes da
              adição e da subtração. 

Por exemplo: 

2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2

= 2 + 12 – 1 + 4

=14 – 1 + 4

= 13 + 4

= 17 

NOTA IMPORTANTE: Para determinarmos uma expressão numérica onde  aparece potências, efectua-se sempre primeiro a potenciação, e só depois é que se  efectuam as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.

Potências de base e expoente natural

Potência

Uma potência é uma multiplicação em que todos os factores são iguais.

A  vantagem da utilização das potências é a possibilidade de representar   números grandes  de forma simples, facilitando a sua leitura e os cálculos necessários.

No exemplo  seguinte repara que :

5 x 5 x 5, indicada por 5³, ou seja; 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

• 5 é chamado de base (factor que se repete)
• 3 é chamado de expoente (indica o número de vezes que repetimos a base)
• 125 é a potência (resultado da operação)

Leitura das  potências:

5² = 5 x 5 = 25  Cinco elevado à segunda potência ou cinco ao quadrado.

4³ = 4 x 4 x 4 = 64   Quatro elevado a terceira potência ou quatro ao cubo.

2⁴   = 2 x 2 x 2 x 2 = 16   dois elevado à quarta potência

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243  três elevado à quinta potência

Exercícios resolvidos:

1- Sendo 4³ = 64:

• a) Qual é é a base?      
• b) Qual  é o expoente?  
• c) Qual  é a potência?    

Respostas: a) 4   b)3    c) 64

2 – Escreve na forma de potência:

• a) 5 x 5  =        
• b) 3 x 3 x 3 =     
• c) 7 x 7 x 7 =      
• d) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =   

Respostas: a) 5 ²   b)3³    c) 7³  d) 2⁵ 3 – Calcula as potências:

• a) 2³            
• b) 4²                
• c) 5⁴              
• d) 1⁶              
• e) 6²
• f) 24¹

Respostas: a) 2 x 2 x 2 = 8   b) 4 x 4 = 16    c) 5 x 5 x 5 x 5 = 625   d) 1x1x1x1x1x1=1

                    e)  6 x 6 = 36   f) 24

Observação:

•  Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
•  Todo número elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1 (um).

Calcular de maneiras diferentes

O Breno, o Bruno e a Rita  resolveram contar os pacotes de leite escolar que 
sobraram, no último dia de aulas antes das férias da Páscoa. Na arrecadação da 
escola contaram 9 paletes, cada uma com 24 pacotes de leite.

E agora como vamos fazer para calcular o número de pacotes de leite? – Pergunta
o Breno.
Tenho uma ideia! Cada um vai calcular como quer e depois vemos se encontramos 
o mesmo número! – Propõe o Bruno. 
Está bem! – Diz o Breno e a Rital, ao mesmo tempo.


O cálculo do Breno
9 × 2 4 = (1 0 ×2 4)  - (1 ×2 4)
                 2 4 0   -    2 4 
9 × 2 4 =    2 1 6


O cálculo da Rita

9 x 24 = 9 x 20 + 9 x 4 =
         = 20x9 + 4x9
         = 180  +  36
         = 2 1 6

 O cálculo do Bruno

 Compreendes como calcularam O Breno, o Bruno e a Rita? Compara as 

diferentes formas de calcular

Propriedades da Multiplicação

1- Propriedade comutativa:

4 × 5 = 5 × 4  Pode trocar–se a ordem dos factores que o valor do produto não se altera.

2- Propriedade associativa: 

(4 × 5) × 7 = 4 × (5 × 7) Pode substituir-se dois ou mais factores pelo seu produto que o valor do produto não se altera.

3- Propriedade da existência do elemento neutro:

4 × 1 = 1 × 4 = 4 Quando um dos factores é um (1), o produto é igual ao outro factor.

 A unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação.

 

4- Propriedade da existência do elemento absorvente:

 4 × 0 = 0 × 4 = 0 Quando um dos factores é zero, o produto é igual a zero.

Zero é o elemento absorvente da multiplicação.

5- Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

 exemplos:     4 × (5 + 3) = 4 × 5  +  4 × 3

                                    =  20    +    12

                                    =  32

                    3 x ( 20 + 7) = 3 x 20   +  3 x 7

                                     =     60     +    21

                                     =    81

Divisão

A divisão pode estar associada a várias ideias: como  partilha, como medida ou como razão.

1- Ideia de partilha:

Exemplo: 

A  Inês que faz hoje anos, comprou 48 chocolates para distribuir igualmente pelos seus colegas de turma:

Quantos  chocolates receberá cada aluno da turma?

                          48 : 12 = 4    pois  4 x 12 = 48 chocolates

Cada aluno receberá 4 chocolates.

2- Ideia de medida:

Se os chocolates forem comprados em  embalagens de  6 unidades cada, quantas embalagens irá  a Inês comprar?

                  

                              48 : 6 = 8     pois   8 x 6 = 48 embalagens

A Inês irá comprar 8 embalagens.

3- Ideia de razão:

A Inês  acabou por comer ao todo 12 chocolates, pois já tinha recebido outros chocolates de prenda de alguns colegas. E os colegas comeram 4 chocolates cada. Se comparamos os números, o que podes observar?

                                   12: 4 = 3

A Inês comeu o triplo  dos chocolates  (três vezes mais)  dos seus colegas.  Pois,  fazia anos...

Identidade fundamental da divisão

O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente.

Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

 Na divisão de números naturais, não te esqueças que:

.  O divisor deve ser menor do que o dividendo.

       exemplo:     37 : 5 =  7 

. O dividendo é o produto do divisor pelo quociente mais o resto. 

       exemplo:   35 = 5 x 7 + 2



A isto chamamos IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO:
    
          Dividendo = divisor  x  quociente   +  resto   
                                                                         (resto é sempre menor que o Divisor)

NOTA: para teres a certeza que a divisão está correcta, basta verificar  se é válida a identidade fundamental da divisão.

Multiplicação de Números naturais

A multiplicação pode ser associada a duas ideias:

1- À ideia de adição de parcelas iguais:

 exemplo: Qual o número de  queques de laranja deste prato?

4 + 4 + 4 = 12   ou  3 + 3 + 3 + 3 = 12

 4    x    3   =   12

                                                   Factores          Produto

2- À ideia de adição como combinação:

No bar da escola  da Beatriz a fruta estava em promoção. 

"leva um iogurte de pêssego ou morango e ganha: 

  1 taça de morangos ou 1 laranja ou 1 pêra ou  1 maçã ou 1 ameixa "

Uma das formas de resolver o problema é fazer uma tabela ou esquema:

  Se a Beatriz escolher iogurte de pêssego tem  4 combinações possíveis.

 

 E se escolher iogurte de morango também tem 4 combinações possíveis.

Logo, há 2 x 4 = 8 possibilidades de escolha 

Tabela da adição...curiosidade

Para somar dois números, com a tabela, um  numa linha e outro  numa coluna, basta fixar um número na primeira coluna e um segundo número na primeira linha.

 Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

Exemplo:
se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está na intersecção da linha do 7 com a coluna do 6.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

Propriedades da adição

A adição é a operação fundamental da Aritmética que  tem como finalidade reunir num um só número, todas as unidades de dois ou mais números.

   

 As propriedades da adição são a associatividade, a comutatividade e a existência de elemento neutro.

 

     Propriedades da Adição

 

•  Associativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

                  Exemplo:

                         ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9

•  Comutativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

                  Exemplo:

                         2 + 6 = 6 + 2 = 8

•   Elemento Neutro

                 Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

                Exemplo:

                         9 + 0 = 0 + 9 = 9

Números naturais, números consecutivos

Conjunto dos números naturais (IN)

IN={1, 2, 3, 4, 5,...}

O conjunto dos números naturais é infinito pelo que, antes de se fecharem as chavetas,  colocam-se  as reticências.

O zero não é um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem. 

 Se  incluirmos o zero neste conjunto, o seu símbolo será alterado, passando a ser ℕ₀, isto é:

ℕ₀ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Todo o número natural  tem um sucessor, considerando também o zero.

O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.

             Exemplos:

                     O sucessor de 0 é 1.

                     O sucessor de 5 é 6.

                     O sucessor de 26 é 27.

    Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

             Exemplos:

                    1 e 2 são números consecutivos

                    12 e 13 são números consecutivos

   Vários números formam uma colecção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

            Exemplos:

                    1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são números consecutivos

                    22, 23, 24, 25 e 26 são números consecutivos

   Para todo o número natural dado, este tem um antecessor (número que vem antes do número dado), com a excepção do zero.

            O antecessor de m é m - 1 se, m é um número natural finito diferente de  zero.

            
Exemplos:

                                       O antecessor de 24 é 23
                                       O antecessor de 3 é 2
                                       O antecessor de100 é 99
                      

Escrita de números na forma numérica

Leitura e escrita de números inteiros

Recordas-te do 1º Ciclo que:

• Por extenso: mil trezentos e cinquenta e duas unidades.
• Por classes: um milhar, trezentas e cinquenta e duas unidades.
• Por ordem: uma unidade de milhar, 3 centenas, 5 dezenas e 2 unidades

Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a esquerda.
O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos.
Cada grupo de algarismos representa uma classe.

Da direita para a esquerda:
- A primeira classe é a das unidades.
- A segunda classe é a dos milhares.
- A terceira classe é a dos milhões.

centenas	dezenas	unidades	cent. de milhar	dez. de milhar	unid. de milhar	centenas	dezenas	unidades
5	3	2	6	9	3	4	1	7
classe dos milhões			classe dos milhares			classe das unidades

532 milhões, 693 milhares, 417 unidades

• Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas.
• Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades.
• As classes têm de ser formadas por três algarismos, excepto a última, a da esquerda, que pode ter só dois ou um algarismos.

Um pouco de história sobre os números...

O Mundo Árabe é uma região rica em cultura e tradições, que participou activamente no desenvolvimento da cultura  Europeia desde a Idade Média até o Século XV.

Da cultura grega, por exemplo, os árabes inteiraram-se da Matemática, da Filosofia, das Ciências, ampliando-as fundamentalmente pela incorporação de novos conceitos no campo da Aritmética e da Álgebra .

  

A representação dos  algarismos árabes foi sujeita a diversas interpretações fantasiosas que estavam associadas à ideia do número representado:

Em 2011, vamos tentar...

Bom Ano Novo....

Após um merecido descanso, vamos iniciar o segundo período e só posso  desejar a todos  muitas felicidades e sonhos realizados no Novo Ano 2011... 

Espero que tenham aproveitado as férias de Natal para descansar e brincar, pois este período é muito longo e de certeza que nos aguardam muitas surpresas agradáveis... Bom estudo!!!