Sequências de números e sequências de figuras - REGULARIDADES

No nosso  dia-a-dia estamos envolvidos com sequências, sem mesmo notarmos. Vejamos por exemplo:

• O livro de ponto, onde está registado o nome dos alunos e numa sequência (ordem alfabética);
• Os dias de um mês (1,2,3,...30/31);
• Os dias do ano (1,2,3,...365);
• A numeração das portas  das ruas;
• A numeração dos transportes públicos;
• A numeração dos lugares nos cinemas;
•  E existem , ainda, muitos outros exemplos de sequência que lidamos no nosso dia-a-dia.

O que são sequências de números?

Sequências de números são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou  regra.

Exemplos:

• 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... Sequência de números impares
• 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... Sequência de números pares
• 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Sequência de múltiplos de 3
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...Sequência de quadrados perfeitos

 Concluímos então que sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos com  uma determinada ordem.




EXEMPLO:

Observando a sequência de figuras e seguindo a mesma regularidade,  quantos pontos negros terá a décima figura?

Verifica-se que o número de pontos negros em cada figura é igual ao número de pontos brancos. 
Assim se pode concluir que os pontos negros P (Pnegros) são metade dos pontos que constituem cada figura F(pontos da Figura).

Representando numa tabela:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4
F (pontos da figura)	2	6	12	20
P(Pontos negros)	1	3	6	10

 Também verificamos que a figura seguinte é sempre um “rectângulo” cujos lados aumentam um ponto:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4	Figura 5	….	Figura 10
F (pontos da figura)	1x2 = 2	2x3 = 6	3x4 = 12	4x5 = 20	5x6 = 30	….	10x11 =110

Podemos concluir que  a 10ª figura tem 10x11 =110 pontos sendo que, o número de pontos negros são   metade  (110 : 2 = 55)  ou seja  55  pontos negros.

Uma sequência de números é um conjunto de números ordenados que obedece a uma determinada lei de formação, ou seja  possui uma determinada regularidade.

Os elementos que constituem uma sequência chamam-se:

• Termos da sequência são os números de uma sequência.

• A cada termo corresponde uma ordem que  representa a posição em que se encontra o  termo.

Na sequência seguinte: 2,5,8,11,14,17....

11 é um termo e a sua ordem é igual a 4, porque o é o quarto número da sequência.

OBS: A  lei de formação ou expressão algébrica de uma sequência é uma regra que permite conhecer cada termo  da sequência a partir da sua ordem ou dos termos anteriores.

Os números triangulares tem um número de pontos necessários para formar um triângulo equilátero.

Assim, os termos 1, 3, 6, 10, 15, ...

formam a sequência dos números triangulares.

Mas esta sequência também pode ser representada por triângulos isósceles.

 

Os números quadrados são a sequência dos números de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

O 1º termo desta sequência , 1, é a área de um quadrado de lado 1;

O 2º termo desta sequência, 4, é a área de um quadrado de lado 2;

assim, concluímos que:

O 10º termo desta sequência é 100 e o n-ésimo termo desta sequência é o quadrado de n , n² (lei de formação ou expressão algébrica).

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	4	9	16	25	…	n2

Mas observa que :
Cada número quadrado pode ser, também,  obtido à custa do anterior, acrescentando os pontos de um gnomom de"braços" :

Repara que os gnomons também formam uma  sequência: 1, 3, 5, 7, 9,.....
 

  Uma sequência dos números impares cujo lei de formação ou expressão algébrica  é   2n-1 como poderás verificar na seguinte tabela:

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	3	5	7	9	…	2n-1

PARA PRATICAR, É SÓ CLICARES:

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE SEQUÊNCIAS

COMPLETA AS SEQUÊNCIAS

Ficha de Avaliação mat6 - sequências e regularidades

Simetria de translação - Frisos e curiosidades sobre frisos e The Amazing Art of MC Escher

O que é um friso?


Um friso é uma banda com um padrão que se repete indefinidamente e onde existem simetrias de translação, todas com uma única direção (geralmente horizontal).

Se olharmos com atenção para algumas peças de cerâmica, para decorações de certas cozinhas e casas de banho e até para determinadas peças de vestuário, encontramos frisos.

Muitas culturas, como a chinesa, a islâmica e a da Grécia Antiga, legaram-nos frisos em diversos objetos que encontramos hoje em museus.








Um friso é uma figura que se prolonga indefinidamente para cada um dos lados.

Como sabemos, há quatro isometrias no plano:

•  reflexão
•  translação
•  rotação
•  e reflexão deslizante

 a que se associam quatro simetrias:

•  simetria de reflexão ou axial
•  simetria de translação
•  simetria de rotação ou rotacional
•  e simetria de reflexão deslizante. 

A reflexão deslizante é a composição de uma reflexão seguida de uma translação com a mesma direção do eixo de reflexão. 


São estas quatro simetrias que nos permitem classificar os frisos, que podem apresentar, além da translação, outras simetrias.

Existem somente sete grupos de frisos:

1. Frisos só com translações 

2. Frisos com reflexões deslizantes e translações

3. Frisos com reflexões de eixo horizontal, reflexões deslizantes e translações

4. Frisos com rotações de meia volta (180º) e translações

5. Frisos com reflexões de eixo vertical e translações

6. Frisos com reflexões verticais, reflexões deslizantes e rotações de meia volta e translações

7. Frisos com reflexões horizontais, reflexões verticais, reflexões deslizantes, rotações de meia volta e translações

Para praticar, é só clicares:


Exercícios de aplicação de frisos

The Amazing Art of MC Escher

Simetria na Natureza e simetria na matemática- curiosidades

Simetria na Natureza

 A simetria na Natureza é um fenómeno único e fascinante. 

Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e  proporção,  padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfei ção. 

Estes são alguns dos vocábulos que resumem reacções que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas.

Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais.

Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma recta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As rectas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura.

Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta, a qual apresenta um único eixo de simetria.

 

Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum.

A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça de uma coruja.

No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.

 

Mas a assimetria (ou a não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha.

Notem-se, no caso do peixe achatado, os dois olhos na mesma face, assim como a boca deformada.

 

Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Um das das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins.

É facilmente identificada, no caracol, a forma espiralada exibida pela casca.

Figuras Regulares

  Outra das formas geométricas mais facilmente reconhecíveis na Natureza é o hexágono regular (figura com seis lados de igual comprimento e cujos ângulos têm todos a mesma amplitude).

Tratando-se de uma das configurações que permitem aproveitar ao máximo o espaço – as outras são os triângulos equiláteros, ou seja, figuras com os três lados e os três ângulos iguais, e os quadrados – , encontramo-la, por exemplo, nos favos de mel das colmeias ou nas “escamas” que recobrem a casca do ananás, as quais, para além do seu formato hexagonal, formam também espirais, de acordo com os números de Fibonacci, como iremos ver mais à frente.

Podemos ver na figura seguinte o conhecido padrão hexagonal que encontramos nos favos das colmeias.

O Mundo Mineral

O mundo mineral brinda-nos igualmente com inúmeros exemplos matemáticos, nomeadamente no que se refere a sólidos geométricos.

Um dos mais famosos de todo o Mundo é a chamada Calçada dos Gigantes, um vasto aglomerado de colunas de rocha basáltica vulcânica, em forma de prismas de diferentes alturas, na sua maioria hexagonais, mas também pentagonais e ainda polígonos irregulares com 4, 7, 8, 9 e 10 lados, que se erguem junto à costa setentrional do Planalto de Antrim, na Irlanda do Norte.

simetria na matemática- curiosidades

Simetria AXIAL (ou de reflexão) e simetria ROTACIONAL e ORDEM de simetria rotacional

Simetria Axial

Uma figura tem simetria axial quando tem pelo menos um eixo de simetria (reta que divide a figura em duas partes iguais que se podem sobrepor por reflexão).

Simetria axial de triângulos

Simetria axial de quadriláteros

Simetria axial do círculo

Uma figura apresenta simetria rotacional se existir pelo menos uma rotação de amplitude diferente de 0º a 360º que deixe a figura na mesma posição.



As rosáceas são figuras compostas por diversos módulos congruentes (geometricamente iguais) que se repetem por rotações. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto e a amplitude de rotação também se mantém.