Problemas do dia-a-dia com fracções...

A maneira como resolvemos um problema do dia-a-dia é sempre a mesma, o que pode ser diferente é a estratégia de resolução, pois cada uma delas envolve um conteúdo diferente.

Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números fraccionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras que representem os inteiros ou partes deles (fracção).

Vejamos  o exemplo de  um problema envolvendo números fraccionários.


Uma piscina rectangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m². A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?




Resolução:

Considera o rectângulo abaixo como sendo a área de lazer completa.



Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região rectangular que está representando a área de lazer, basta dividir esse rectângulo em 15 partes iguais e considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina.



 No enunciado está referido que  que a área total é de 300m², portanto, a área que a piscina ocupa será de:

 2  de  300 = 2 x 300 : 15  = 40m².                
15

 Dessa forma,  podemos concluir que cada 1/15 do terreno corresponde a 20m².




Observando a figura acima percebemos que a fracção que irá corresponder à parte restante da área de lazer é 13/15, dessa forma, para descobrirmos quanto isso representa em metros quadrados,  basta multiplicar 20 por 13 que será igual a 260m² de área restante.

Potenciação de Fracções

Para  calcular as potências de fracções, temos  que seguir os seguintes passos:


Exemplo1:

.

Para chegar ao resultado foi feita uma multiplicação conforme o expoente, neste caso, cinco vezes, vejamos:

.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

.

Exemplo 2:

.

Para chegar ao resultado foi feita uma multiplicação conforme o expoente, neste caso, três vezes, veja abaixo:

.

3 x 3 x 3  = 27

5 x 5 x 5  = 125

.

Exemplo 3:

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Para chegar ao resultado foi feita uma multiplicação conforme o expoente, neste caso, duas vezes, veja abaixo:

.

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

Propriedades da multiplicação de números racionais

Divisão de fracções e regras de prioridade na resolução de expressões numéricas

Multiplicação e divisão de números representados por Fracções

Nas multiplicações de fracções multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador.  E sempre que  necessário, simplifica-se o produto para ficar na forma irredutível. 

Vejamos  os exemplos seguintes:

 






Na divisão de números fraccionários, devemos multiplicar a primeira fracção pelo inverso da segunda. E sempre que necessário simplifica-se o resultado por forma a ficar irredutível.

Vejamos os exemplos abaixo:

Inverso de um número racional

Dado um número fraccionário diferente de  0 ,  existe sempre outro número que multiplicado  por esse número dá  1 .


Dois números dizem-se INVERSOS um do outro se o seu produto  for igual a 1.   Todo o número diferente de zero tem  um  inverso.

Dica: É só virar a fracção de pernas para o ar!

Exemplos:


1/2  é o inverso de  2


3  é o inverso de  1/3


3/2  é o inverso de  2/3


11/5  é o inverso de  5/11

Múltiplos e divisores ( revisões)

Os múltiplos e divisores de um  número estão relacionados da seguinte forma:

• se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8 e 8 é múltiplo de 2
•  se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15 e 15 é múltiplo de 3

Múltiplos de um número natural : Chamamos  múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. 

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 
2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2 x 4 = 8 
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
2 x 7 = 14 
2 x 8 = 16 
2 x 9 = 18 
2 x 10 = 20 
É assim sucessivamente. 

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 
3 x 0 = 0 
3 x 1 = 3 
3 x 2 = 6 
3 x 3 = 9 
3 x 4 = 12 
3 x 5 = 15 
3 x 6 = 18 
3 x 7 = 21 
3 x 8 = 24 
3 x 9 = 27 
3 x 10 = 30 
É assim sucessivamente.
 

os múltiplos  de 2 são:   M₂=( 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ...) 


E os múltiplos de 3 são: M₃= (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... )

Observa  que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente.

Múltiplos de 4:   M₄= (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...)


Múltiplos de 5: M₅= (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...)

Divisores de um número natural 

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.    

D₁₂=(1,2,3,4,6,12)

36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 

D₃₆=(1,2,3,4,6,9,12,18,36)

48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. 

D₄₈=(1,2,3,4,6,8,12,24,48)

Relembra que:   O zero não é divisor de nenhum número. 

   1. O menor divisor natural de um número é sempre o número  1.
   2.  O maior divisor de um número é o próprio número. 
   3. O zero não é divisor de nenhum número. 

   4. Os divisores de um número formam um conjunto finito. 

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos.

Relembra  os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

Problemas do dia-a-dia com a adição e subtracção de fracções...

Para o o almoço,a mãe do Samuel fez uma tarte de chocolate .
O Samuel  contou aos amigos:

-Eu comi metade da torta;a minha irmã,a quarta parte e a minha mãe,a sexta parte.

Os amigos comentaram:"Não sobrou nada!".

És da mesma opinião?  Justifica.

Resposta: Não sou da mesma opinião porque sobrou uma parte 

Adição e subtração de números racionais (fracções)

Recordam-se de que só se podem adicionar ou subtrair  fracções com o mesmo denominador.

      Se os denominadores forem diferentes, deve-se reduzir as fracções ao mesmo denominador antes de as adicionar ou  subtrair.
 


RECORDA QUE:

• Os números inteiros têm  sempre  como denominador o 1.
• Entre os vários denominadores, escolham o denominador maior.
• Depois procurem os múltiplos desse denominador que sejam múltiplos também dos outros denominadores.
• O primeiro que encontrarem é o menor denominador comum.
• Convertem todas as fracções em fracções equivalentes com esse  denominador.      

                          

Lembrem-se que:

- devem multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número;

-  só  PODEM adicionar ou subtrair  as fracções, se tiverem o mesmo denominador. 

Observa os exemplos: 




Para somar fracções com denominadores diferentes, uma solução é obter fracções equivalentes, de denominadores iguais ao mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores das fracções. 

somar as frações

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.


                          

Fracções Equivalentes (revisão)

Multiplicação e divisão de números representados na forma decimal

Sempre que for possível representar um número racional por uma fracção decimal diz-se que esse número é decimal.

Assim, o conjunto dos números decimais é um subconjunto dos números racionais. 

Vejamos,

·     2/5  é um racional decimal pois equivalente à fracção decimal    4/10

·     4/3 não é um racional decimal pois não é convertível numa fracção decimal.

A multiplicação com números decimais não é tão linear como a extensão da adição e subtracção a esses mesmos números. Com os números naturais, o produto é sempre superior a qualquer um dos factores, o que não acontece quando  se opera com os números decimais.

Por exemplo: 0,5 x 0,1= 0,05          e sabemos que   0,05  < 0,5

A operação de divisão com números decimais suscita algumas dúvidas pois  com os números naturais,  interioriza-se  a ideia que o quociente é sempre inferior ao dividendo. Com os números decimais, nem sempre isto acontece.

Por exemplo:  0,5 : 0,1 = 5  (lê-se em 0,5 quantas vezes cabem 0,1)

Comparação de números decimais

Qual destes número é maior: 3,426 ou 3,45?


Para resolver esta questão, colocamos os números um embaixo do outro com os algarismos de mesma ordem alinhados:

3,426

3,45

Os limites máximo e mínimo dos números do exemplo estão  representados na recta da figura abaixo:

Comparando o par de algarismos correspondentes aos centésimos, resulta que: 2 < 5

Número Decimal: expressão na forma de fracção e na forma decimal

Todo o número Racional pode ser representado por uma fracção.


Toda a fracção pode ser representada por um número escrito em forma decimal, dividindo-se o numerador pelo denominador da fracção:

Uma fracção é decimal quando seu denominador é 10, ou uma potência de 10, ou ainda, uma fracção equivalente a fracções desse tipo:

Se uma fracção é decimal, então sua expressão na forma decimal é um decimal exacto.




Os números decimais compreendem duas partes, inteira e decimal, separadas por uma vírgula.




Na Figura, abaixo, são representados três números: 32,444; 27 504,53; e 0,3567

Para representar os números decimais sobre uma recta, adoptamos o seguinte 


procedimento:

•	Representamos os números inteiros como indica a Figura , abaixo:

•	Dividindo a unidade em dez partes iguais, obtemos os décimos e poderemos representar os números com uma ordem decimal (Figura  abaixo).

•	Se dividirmos cada décimo em dez partes iguais, ficam assinalados os centésimos, como podemos ver na Figura abaixo. Representamos assim os números com duas ordens decimais.

Adoptando este processo, podemos representar os diferentes números decimais exactos.