SEMPRE A MATHEMATICAR...COM MÚSICA: fevereiro 2012

terça-feira, 28 de fevereiro de 2012

Razão e proporção

segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012

Proporções e mousse de chocolate

A presença da Matemática no nosso quotidiano é de grande importância para algumas tarefas diárias.
Na cozinha, estamos frequentemente a utilizar a Matemática.

Por exemplo, ao utilizarmos uma receita de mousse de chocolate estamos realizando cálculos matemáticos, utilizando a proporção, na medição da quantidade de ingredientes necessários.

Observa a receita envolvendo os ingredientes necessários para a produção de 10 porções de mousse de chocolate:

Ingredientes (10 pessoas):

200gr de chocolate de culinária
50gr de manteiga sem sal
6 ovos
6 colheres de sopa de açúcar.

Preparação:

Parta o chocolate em pedaços pequenos e junte a manteiga. Leve a derreter em banho maria ou no microondas, com cuidado para não queimar.
Entretanto misture as gemas com o açúcar mexendo bem, e adicione depois o chocolate derretido.
Bata as claras em castelo e adicione suavemente à mistura anterior.
Leve ao frigoríco no mínimo 2 horas antes de servir.

A proporção será utilizada se for necessário aumentar ou diminuir a quantidade de mousse de chocolate.

Nesta situação, utilizamos a proporção para manter a qualidade do produto caso necessitemos aumentar ou diminuir os ingredientes de acordo com a quantidade de porções necessárias.

Com base na receita, podemos dobrar, triplicar ou quadruplicar os ingredientes, bem como diminuir pela metade.

Imaginem que vão fazer uma festa e terão 20 convidados, será necessário produzir 20 porções , logo devemos multiplicar a quantidade de todos os ingredientes por dois:

Ingredientes (20 pessoas):

400gr de chocolate de culinária
100gr de manteiga sem sal
12 ovos
12 colheres de sopa de açúcar.

mas, no caso de apenas terem 5 convidados, deveremos reduzir pela metade a receita padrão de 10 porções, portanto devemos dividir todos os ingredientes por dois.

Ingredientes (5 pessoas):

100gr de chocolate de culinária
25gr de manteiga sem sal
3 ovos
3 colheres de sopa de açúcar.

domingo, 26 de fevereiro de 2012

Razão

Grandeza ou quantidade comparável: É uma relação numérica estabelecida com um objecto.

Exemplos de grandezas:

· altura de uma pessoa;

· peso de uma pessoa;

· volume de um sólido;

· número de alunos de uma turma;

· velocidade;

· tempo…

ou seja, Grandeza é tudo que se pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Razão: é a divisão de duas grandezas ou o quociente de duas quantidades comparáveis

Exemplo 1:

se numa turma tivermos 10 rapazes e 20 raparigas, qual a razão entre o número de rapazes e o número de raparigas?

Generalizando, uma razão permite comparar dois números a e b calculando o quociente entre eles e escreve-se das seguintes formas:

a	, ou a : b ou a / b (com b ≠ 0)
b

nota: ≠ significa diferente

que se lê: "a razão entre a e b" ou "razão de a para b"

OBSERVAÇÕES:

Numa razão a:b, b é sempre diferente de zero e a e b podem ser ambos números racionais, por exemplo 1,5:3 é uma razão;

Uma percentagem é uma razão. Por exemplo 75% dos alunos da mascararam-se no carnaval:

Uma razão simplifica-se do mesmo modo que uma fracção.

Exemplos de razões:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

domingo, 19 de fevereiro de 2012

Sequências de números

sexta-feira, 17 de fevereiro de 2012

Sequências e figuras geométricas

Os números triangulares tem um número de pontos necessários para formar um triângulo equilátero.

Assim, os termos 1, 3, 6, 10, 15, ...

formam a sequência dos números triangulares.

Mas esta sequência também pode ser representada por triângulos isósceles.

Os números quadrados são a sequência dos números de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

O 1º termo desta sequência , 1, é a área de um quadrado de lado 1;

O 2º termo desta sequência, 4, é a área de um quadrado de lado 2;

assim, concluímos que:

O 10º termo desta sequência é 100 e o n-ésimo termo desta sequência é o quadrado de n , n² (lei de formação).

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	4	9	16	25	…	n²

Mas observa que :
Cada número quadrado pode ser, também, obtido à custa do anterior, acrescentando os pontos de um gnomom de"braços" :

Repara que os gnomons também formam uma sequência: 1, 3, 5, 7, 9,.....

Uma sequência dos números impares cujo lei de formação é 2n-1 como poderás verificar na seguinte tabela:

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	3	5	7	9	…	2n-1

quarta-feira, 15 de fevereiro de 2012

sequências e regularidades

Uma sequência de números é um conjunto de números ordenados que obedece a uma determinada lei de

formação, ou seja possui uma determinada regularidade.

Os elementos que constituem uma sequência chamam-se:

Termos da sequência são os números de uma sequência.

A cada termo corresponde uma ordem que representa a posição em que se encontra o termo.

Na sequência seguinte: 2,5,8,11,14,17....

11 é um termo e a sua ordem é igual a 4, porque o é o quarto número da sequência.

OBS: A lei de formação de uma sequência é uma regra que permite conhecer cada termo da sequência a partir da sua ordem ou dos termos anteriores.

segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012

Sequência de Fibonacci ...um pouco de curiosidade

Afinal quem é Fibonacci?

O seu nome completo era Leonardo de Pisa.

Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao facto de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de Bonacci.

Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.
Pensa-se que Fibonacci terá morrido em 1250 em Pisa .

Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de África, onde o sistema de numeração hindu era já largamente usado.

Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu primeiro livro " Liber Abacci" (o livro dos ábacos), que teve uma enorme influência para a introdução na Europa do sistema de numeração hindu-Árabe.

Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de Fibonacci e da sequência de Fibonacci .

Sequência de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...

Notemos que:

Os dois primeiros termos são 1;

Cada um dos termos seguintes é a soma dos dois anteriores.

Então, para descobrir o próximo termo da sequência, basta somar os dois últimos termos. Neste caso o próximo termo seria 34+55=89.

Ao dividirmos, sucessivamente, um termo pelo seu anterior, aproximamo-nos de um número já conhecido:

Os quocientes vão-se aproximando do número 1.6180339887.... que é designado por número de ouro.

sábado, 11 de fevereiro de 2012

Sequências

Observando a sequência de figuras e seguindo a mesma regularidade, quantos pontos negros terá a décima figura?

Verifica-se que o número de pontos negros em cada figura é igual ao número de pontos brancos. Assim se pode concluir que os pontos negros P (Pnegros) são metade dos pontos que constituem cada figura F(pontos da Figura).

Representando numa tabela:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4
F (pontos da figura)	2	6	12	20
P(Pontos negros)	1	3	6	10

Também verificamos que a figura seguinte é sempre um “rectângulo” cujos lados aumentam um ponto:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4	Figura 5	….	Figura 10
F (pontos da figura)	1x2 = 2	2x3 = 6	3x4 = 12	4x5 = 20	5x6 = 30	….	10x11 =110

Podemos concluir que a 10ª figura tem 10x11 =110 pontos sendo que, o número de pontos negros são metade (110 : 2 = 55) ou seja 55 pontos negros.

quinta-feira, 9 de fevereiro de 2012

Sequência numérica

No nosso dia-a-dia estamos envolvidos com sequências, sem mesmo notarmos. Vejamos por exemplo:

O livro de ponto, onde está registado o nome dos alunos e numa sequência (ordem alfabética);
Os dias de um mês (1,2,3,...30/31);
Os dias do ano (1,2,3,...365);
A numeração das portas das ruas;
A numeração dos transportes públicos;
A numeração dos lugares nos cinemas;
E existem , ainda, muitos outros exemplos de sequência que lidamos no nosso dia-a-dia.

O que são sequências de números?

Sequências de números são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou regra.

Exemplos:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... Sequência de números impares

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... Sequência de números pares

3, 6, 9, 12, 15, 18,... Sequência de múltiplos de 3

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...Sequência de quadrados perfeitos

Concluímos então que sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos com uma determinada ordem.

O triângulo de Pascal...curiosidade

Já ouviste falar no triângulo de Pascal ?

O triângulo de Pascal são números dispostos segundo este padrão:

O triângulo de Pascal são números dispostos desta maneira:

$1 \!\;$

$1 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 2 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1\!\;$

O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo, mas recebeu o nome de 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos que o filósofo e matemático Blaise Pascal (1623-1662) fez deste.

O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados esquerdo e direito sempre devem possuir o número $1 \!\;$ .

Cada linha possui um número a mais que a linha anterior. Além disso, o triângulo também possui várias propriedades interessantes que permitem construir com facilidade a linha seguinte.

Propriedade 1:

A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas.

Para ilustrar isto, vamos associar a cada linha do triângulo um número, começando do $0 \!\;$ :

A propriedade diz que a soma de todos os números de uma linha é igual a $2 \!\;$ elevado àquele número que associamos à linha.

E o que significa isto?

Quando dizemos que o número $2 \!\;$ está elevado a $3 \!\;$ , por exemplo, queremos dizer que o $2 \!\;$ foi multiplicado por si mesmo $3 \!\;$ vezes:

$2^3 = \underbrace{ 2 \times 2 \times 2}_{3 \mathrm{vezes}} = 8$

Podes observar na figura o resultado das somas relacionadas à cada linha do triângulo:

Vamos conferir algumas delas:

$2^0 = 1 \!\;$ (qualquer número elevado a $0 \!\;$ dá $1 \!\;$ )
$1 + 1 = 2 = 2^1 \!\;$
$1 + 2 + 1 = 4 = 2 \times 2 = 2^2$
$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$
$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

Propriedade 2

A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.

Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. A figura ilustra melhor a propriedade:

Vamos verificar as somas apontadas na figura:

$1 + 2 = 3 \!\;$

$1 + 7 = 8 \!\;$

$5 + 10 = 15 \!\;$

$20 + 15 = 35 \!\;$

$21 + 7 = 28 \!\;$

Propriedade 3

Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando sempre do $1 \!\;$ a partir da direita. Observa a figura para visualizar melhor:

A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado, como mostra a figura.

Vamos conferir algumas somas:

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \!\;$

$1 + 3 + 6 = 10 \!\;$

$1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 \!\;$

$1 + 6 + 21 = 28 \!\;$

Da mesma forma que foi feito com as propriedades anteriores, podes continuar verificando esta! Mas toma cuidado, as somas das colunas devem começar sempre a partir do primeiro número $1 \!\;$ da coluna.

Propriedade 4

A última propriedade é bem parecida com a anterior, só que, em vez de as somas começarem do lado direito do triângulo, desta vez devem começar do lado esquerdo:

Da mesma forma, você vai encontrar a soma desta diagonal na linha abaixo daquela em que está o último número somado. Também aqui deves ter sempre o cuidado de começar a soma do primeiro número $1 \!\;$ da coluna.

Vamos verificar as somas da figura:

$1 + 2 = 3 \!\;$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \!\;$

$1 + 4 + 10 = 15 \!\;$

$1 + 6 + 21 = 28 \!\;$

Continua verificando a propriedade!