Ângulos complementares e suplementares, ângulos verticalmente opostos e ângulos alternos internos e externos

Dois ângulos são complementares, quando a  soma de suas amplitudes for igual a 90º.

Dois ângulos  são suplementares se a soma das suas amplitudes for igual a 180º.

 

Dois ângulos dizem-se verticalmente opostos se têm o mesmo vértice e os lados de um ângulo estão no prolongamento dos lados do outro.

Assim,

O ângulo AOC e o ângulo DOB são verticalmente opostos.

O ângulo AOB e o ângulo COD são verticalmente opostos.

Resumindo, os ângulos verticalmente opostos são geometricamente iguais.

Ângulos alternos-externos 

 Num sistema de duas rectas paralelas cortadas por  uma  terceira,  chamada  secante,  chamam-se  ângulos  alternos-externos  aos pares a,c e b,d assinalados na figura.

Os  ângulos  alternos-externos  são  geometricamente iguais, por isso  têm a mesma amplitude; a amplitude de a é igual à de c, o mesmo sucedendo entre b e d.



Ângulos alternos-internos 

Num sistema de duas rectas paralelas cortadas por uma terceira chamam-se ângulos alternos-internos aos pares e, g e f, h assinalados na figura.

Os ângulos alternos-internos são geometricamente iguais, por isso têm a mesma amplitude; a amplitude de e é igual à de g, o mesmo sucedendo entre f e h.

Por isso,  concluimos que os Ângulos alternos Externos  são geometricamente iguais e os os Ângulos alternos internos também  são geometricamente iguais.






Exemplos:

Para cada uma das situações seguintes, indica a amplitude dos ângulos representados por letras.

a) Ângulos Complementares - Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é 90º.

X= 90º-35º = 55º

b) Ângulos Suplementares - Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é 180º.

X= 180º - 145º = 35º

c) Ângulos verticalmente opostos - os ângulos verticalmente opostos  têm a mesma amplitude.

X= (360º - 25 -25) :2=

X= 310 :2 = 155º

Como traçar retas paralelas e perpendiculares?

Como traçar retas from ArmindaOliveira

Ângulos, vértices e bissectriz

Já alguma vez leste um livro, ou viste um filme onde se procuram tesouros?

Imagina que tu  és um desses exploradores. 

"Anda 10 passos e vira 90º para a direita. Anda mais 5 passos e vira outra vez 90º para a direita. Anda mais 10 passos e vira 90º à direita. Volta a andar mais 5 passos e vira mais 90º para a tua direita." 

Surpreendido? Verifica, num papel qual a tua posição.

Para poderes responder a este desafio deves saber de que estamos a falar de  ângulos e  graus.

O ângulo é uma região do plano composta pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo.
 A abertura do ângulo é medida em graus, a que damos o nome de amplitude.

Num polígono qualquer, como os que podes ver mais abaixo, podemos ter dois tipos de ângulo, os internos a verde e os externos a vermelho.

Resumindo, Um ângulo é um conjunto de pontos, e o vértice e os lados do ângulo fazem parte desse conjunto.

Um ângulo divide o plano em duas partes não limitadas.   
 -  C  é o vértice do ângulo ACB (a origem comum das semirretas que formam um ângulo chama-se vértice do ângulo ).

 -   As semirretas  ĊB  e  ĊA  são os lados do ângulo ACB

                                       

A bissectriz de um ângulo divide o ângulo em duas partes iguais.

ĊV  é a bissectriz do ∢ACB.

Os  ∢ACV  e  ∢VCB  são geometricamente iguais.

Nota que: ∢ = ângulo

Tipos de ângulos

De acordo com a amplitude de cada ângulo podemos classificá-lo como:

A-Ângulo reto quando  a sua medida é igual  a  90º.

Nota:  Estas duas retas concorrentes de ângulos adjacentes também se chamam de retas PERPENDICULARES.

 B- Ângulo  agudo  quando  a sua medida é menor que a medida de um ângulo reto de 90°. 

Exemplo:

 



C-Ângulo obtuso  quando  a sua medida é maior que a medida de um ângulo reto de 90°  e menor que um ângulo de 180º. 

Exemplo:

D- Ângulo raso  quando  a sua medida é igual  a  180°.

        

Concluindo:

• Ângulo raso: tem de amplitude 180º.

• Ângulo obtuso:  tem uma amplitude compreendida entre 90º e 180º.

• Ângulo reto:  tem uma amplitude de 90º.

•  Ângulo agudo: Ângulo cuja amplitude é maior do que 0° e menor do que 90°.

Também existe o  Ângulo giro que  tem de amplitude 360º.

Retas, semirretas e segmentos de retas. Retas paralelas e retas concorrentes

Lembras-te  da disciplina de Educação Visual que:

                                                               

As retas são  conjuntos de pontos.

Uma reta é definida por dois dos seus pontos. Também se representa uma recta por uma letra minúscula:  r , s , t ,...
Reta CD ou reta r

ĊD  representa a semirreta de origem  C  e que contém o ponto  D (tem principio mas não tem fim) .

[RS]  representa o segmento de reta cujos extremos são os pontos  R  e  S . Um segmento é um conjunto de pontos.

• 
  

  Pertencem ao segmento de reta  [RS]  os pontos  R,  S  e todos os pontos da recta  RS  situados entre  R  e  S (tem principio e fim).
  
  
  

  
  

  
  
  
• O comprimento do segmento de reta  [PQ]  representa-se por  PQ  ou  QP  .

  PQ  = 3 cm.

Posição relativa de 2  retas no plano:

A- Retas paralelas:  

Duas retas do plano dizem-se paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou se forem coincidentes.

A1 - Retas estritamente paralelas: 

Duas rectas do plano dizem-se estritamente paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum:

 a // b

A2 -  Retas coincidentes:

Duas retas do plano dizem-se coincidentes (paralelas) se tiverem todos os pontos em comum:

                    c ≡ d    (lê-se: coincidentes)

B: Retas Concorrentes:   

Duas retas do plano dizem-se concorrentes se tiverem um e um só ponto comum.

 B1 -  Retas Perpendiculares: 

Duas retas do plano dizem-se perpendiculares (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e formarem um ângulo de 90º.

 r _|_ s

B2 -  Retas  Oblíquas: 

Duas retas do plano dizem-se oblíquas (concorrentes) se tiverem um e um só ponto comum e se um dos ângulos formados for inferior a 90º e superior a 0º.

Resumindo:

Exemplo 1:

A Mónica  e a Lara andam um pouco perdidas pelo bairro onde vivem a Ana e o Daniel .  

Ajuda-os a encontrar a rua que: 

- Seja paralela à Rua das Camélias......... Rua das Palmeiras.

- Seja perpendicular à Rua das Palmeiras......... Rua dos Prados.

- Se cruze com a Rua das Palmeiras, mas que não seja perpendicular a esta.......... Rua das Laranjeiras.

Exemplo2:







Retas paralelas: São retas que mantém sempre a mesma distância entre si e, portanto não se cruzam.

Retas concorrentes: São retas que se cruzam, ou seja, retas que têm apenas um ponto comum.

Retas Perpendiculares: São retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto. (ângulo de 90º).

Retas oblíquas: São retas concorrentes que formando entre si ângulos           (agudos e obtusos).

Preparação para a ficha de avaliação..perguntas e respostas sobre sólidos geométricos...Quiz

Também podes resolver os seguintes exercícios, basta clicares:

Exercícios sobre sólidos geométricos

Exercícios sobre a classificação de poligonos

Exercícios sobre a classificação de poliedros

Exercícios sobre a planificação de poliedros

Exercício sobre poliedros

Polígonos, poliedros, relação de Euler....Revisões

Antes de estudarmos os sólidos geométricos, convém distinguir sólidos geométricos de polígonos.

Polígonos são figuras geométricas planas limitadas por linhas fechadas. Neste caso possui duas dimensões, comprimento e largura.
Um polígono tem vértices, lados, ângulos e diagonais.

Um polígono é regular se todos os seus lados tiverem o mesmo comprimento. Se isso não acontecer o polígono é irregular!

São imensos os polígonos conhecidos:

Número de lados-  Polígono

Sólidos geométricos são regiões do espaço limitadas por uma superfície fechada e que contém três dimensões, sendo elas: 

•  largura
•  altura 
•  comprimento.

Há dois tipos de sólidos geométricos.

A- Poliedros - São todos os sólidos que têm superfícies planas.

                     


podemos observar três outros conjuntos de sólidos:

•  os prismas

•  as pirâmides   

                

•  os outros poliedros.

OBSERVAÇÕES:

Existe  uma relação válida para todos os poliedros :é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:

n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2

 Alguns poliedros têm todas as faces geometricamente iguais (são polígonos regulares geometricamente iguais) e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas. 
A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares. Estes são também conhecidos por Sólidos Platónicos.

B- Não poliedros- são os sólidos que possuem pelo menos uma superfície curva.

Os não  poliedros agrupam-se em quatro grupos:

                                     

                          

• Cilindros, Cones, esferas:

             
 

                             

•  Outros sólidos não poliedros:

Para praticares, basta clicares:

EXERCÍCIOS SOBRE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

EXERCÍCIOS SOBRE A CLASSIFICAÇÃO DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

EXERCÍCIOS SOBRE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

DIVERTE-TE COM OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS