Revisões múltiplos e divisores, mdc e mmc,

Multiplos Divisores from tetsu

Relação entre mdc e mmc from Helena Borralho

O mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc)

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):
O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M₃₀ = 0,30,60,90,120,150, ...

• M₆₀ = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.

Vejamos  outro exemplo:

mmc _(5,9) = 45, porque

• M₅ = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
• M₉ = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Máximo divisor comum (mdc):

O  Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:

• D₁₅ = 1,3,5,15.
• D₂₀ = 1,2,4,5,10,20.

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, 

o mdc (15,20) = 5.

Vejamos  outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois


O maior divisor comum entre esses números é 10, 

portanto mdc(20,30,60) = 10.

• D₂₀ = 1,2,4,5,10,20
• D₃₀ = 1,2,3,5,6,10,15,30
• D₆₀ = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

Tabela de números primos: O crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  

Decomposição em fatores primos

A professora do  Rui pediu-lhe para escrever todas as multiplicações possíveis  do número 36 com a  seguinte característica:
   -Os divisores só podem ser números primos

Utilizando o esquema seguinte, o Rui concluiu que :

36 = 2 x 18

                         18 = 2  x  9

                                                  9 = 3 x 3

ou seja  36 =  2 x 2 x 3 x 3

36 = 2² x 3²

Lembras-te que todo  o número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores, vejamos por exemplo:

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2
24 = 2³ x 3

Decomposição do número 50: 
50 = 2 x 5 x 5
50 =  2 x 5²


Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 =   2² x 5



Regra prática para a decomposição em factores primos.:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a decomposição em factores primos do número 630.
Então
630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 3² x 5 x 7

Números primos e números compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D₂ = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D₃ = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D₅ = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D₇ = {1, 7)

11 é um número primo, pois D₁₁ = {1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D₄ = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D₆ = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D₈ = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D₉ = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D₁₀ = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Sabias  que:

• O número 2 é o único número par que é primo.
• O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  





Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

• resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.

ou

• quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.

Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:

Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:

Concluímos que 221 é um número composto.