No conjunto dos números naturais podemos identificar
múltiplos e divisores de um determinado número.
- O múltiplo de um número é um número se pode obter multiplicando o primeiro por qualquer número natural. Por exemplo, os múltiplos de 2 são todos os números pares, que terminam em 0, 2, 4, 6 e 8.
Em linguagem mais simples os múltiplos de um número designam-se pelos números da tabuada desse número.
Escreve-se:
M2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}
M3={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...}
M10={0,10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}
Podemos concluir que:
- o zero é múltiplo de qualquer número;
- o conjunto de múltiplos de um qualquer número é infinito.
- O divisor de um número é um número que pode dividir o primeiro. Quando se refere a "poder dividir" quer dizer que na divisão inteira o resto é sempre zero.
Em linguagem corrente pode afirmar-se que os divisores de um número são as tabuadas onde aquele primeiro número se encontra.
Por exemplo os divisores de 4, são o 1, 2 e 4. Os divisores de 21 são, 1, 3, 7 e 21.
Escreve-se:
D4={1, 2, 4}
D21={1, 3, 7, 21}
D100={1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
Podemos concluir que:
- um é divisor de qualquer número;
- o conjunto dos divisores de qualquer número é finito.
Podemos observar algumas propriedades dos divisores
- 1ª propriedade
Num produto de fatores, um divisor de qualquer fator é também divisor do resultado.
12 x 4 = 28
(3 x 4) x (2 x 2)
28 é então divisível por 3, 4 e 2, ou seja, os divisores do 12 e do 4.
4 x 10 = 40
(2 x 2) x (2 x 5)
40 é divisível por 2, 4 e 5, ou seja os divisores de 4 e de 10.
- 2ª propriedade
Se um número natural é divisor de dois outros números, então também é divisor da soma e da diferença desses dois números.
12 + 4 = 16
(2 x 6) + (2 x 2)
O divisor comum entre o 4 e o 12 é o número 2, logo o 2 também é divisor de 16.
21 - 6 = 15
(3 x 7) - (3 x 2)
O divisor comum entre 21 e 6 é o número 3, logo 3 também é divisor de 15.
- 3ª propriedade
Numa divisão inteira, os divisores comuns do dividendo e do divisor também são divisores do resto.
No caso anterior o dividendo é o 9225 e o divisor é o 35. Um dos divisores
comuns entre eles é o 5. A 3ª propriedade diz-nos que se o 5 é divisor de 9225
e 35, logo também é do resto, ou seja do número 20!
- 4ª propriedade
Numa divisão inteira, os divisores comuns ao divisor e ao resto também são do dividendo.
No caso da divisão anterior, se 5 é divisor de 35 e de 20, também é divisor de 9225.
Vejamos então, se percebeste:
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