Propriedades dos divisores

No conjunto dos números naturais podemos identificar múltiplos e divisores de um determinado número.

• O múltiplo de um número é um número se pode obter multiplicando o primeiro por qualquer número natural. Por exemplo, os múltiplos de 2 são todos os números pares, que terminam em 0, 2, 4, 6 e 8.

Em linguagem mais simples os múltiplos de um número designam-se pelos números da tabuada desse número.

Escreve-se:

M2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}
M3={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...}
M10={0,10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}

Podemos concluir que:
- o zero é múltiplo de qualquer número;
- o conjunto de múltiplos de um qualquer número é infinito.

• O divisor de um número é um número que pode dividir o primeiro. Quando se refere a "poder dividir" quer dizer que na divisão inteira o resto é sempre zero.

Em linguagem corrente pode afirmar-se que os divisores de um número são as tabuadas onde aquele primeiro número se encontra.

Por exemplo os divisores de 4, são o 1, 2 e 4. Os divisores de 21 são, 1, 3, 7 e 21.

Escreve-se:

D4={1, 2, 4}
D21={1, 3, 7, 21}
D100={1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

Podemos concluir que:
- um é divisor de qualquer número;
- o conjunto dos divisores de qualquer número é finito.

Podemos observar algumas propriedades dos divisores

• 1ª propriedade

Num produto de fatores, um divisor de qualquer fator é também divisor do resultado.

   12     x     4    =       28
(3 x 4) x (2 x 2)

28 é então divisível por 3, 4 e 2, ou seja, os divisores do 12 e do 4.

    4        x      10      =      40
(2 x 2)    x   (2 x 5) 

40 é divisível por 2, 4 e 5, ou seja os divisores de 4 e de 10.

• 2ª propriedade

Se um número natural é divisor de dois outros números, então também é divisor da soma e da diferença desses dois números.

      12      +      4          =    16
 (2 x 6) +  (2 x 2)

O divisor comum entre o 4 e o 12 é o número 2, logo o 2 também é divisor de 16.

    21     -    6      =    15
(3 x 7) -  (3 x 2)

O divisor comum entre 21 e 6 é o número 3, logo 3 também é divisor de 15.

• 3ª propriedade

Numa divisão inteira, os divisores comuns do dividendo e do divisor também são divisores do resto.

No caso anterior o dividendo é o 9225 e o divisor é o 35. Um dos divisores comuns entre eles é o 5. A 3ª propriedade diz-nos que se o 5 é divisor de 9225 e 35, logo também é do resto, ou seja do número 20!

• 4ª propriedade

Numa divisão inteira, os divisores comuns ao divisor e ao resto também são do dividendo.

No caso da divisão anterior, se 5 é divisor de 35 e de 20, também é divisor de 9225.

Vejamos então, se percebeste: