Mínimo múltiplo comum (mmc). Relação entre mmc e mdc e resumo sobre os critérios de divisibilidade,as propriedades dos divisores, o mdc e o mmc...

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, ( ZERO é MÚLTIPLO de todos os números) por exemplo: 

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, ( UM  é DIVISOR de todos os números) por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):

O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, diferente de zero, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M₃₀ = 0,30,60,90,120,150, ...

• M₆₀ = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.

Vejamos  outro exemplo:
mmc _(5,9) = 45, porque

• M₅ ={ 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...}
• M₉ = { 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...}

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Qual a  relação entre o m.m.c. e o m.d.c.?

O m.d.c.(a, b) multiplicado pelo m.m.c.(a, b) é igual ao produto de a por b, isto é:

mdc(a, b) x mmc(a, b) = a x b 

            

 exemplo 1:

m.d.c.(12, 15) x m.m.c.(12, 15) = 12 x 15 = 180

mdc(12,15)= 3  (3 é divisor comum maior que existe entre estes dois números.)

mmc(12,15)=60  (60 é múltiplo comum mais pequeno que existe entre estes dois números.)

exemplo 2:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 15 e 20.

1- O primeiro passo é determinar o m.d.c. ou o m.m.c. entre 15 e 20.

2- O m.d.c.(15, 20) = 5, e 5 é divisor comum maior que existe entre estes dois números.

3- Sabendo que 15 x 20 = 300, considerando a relação 

m.d.c.(15, 20) x m.m.c.(15, 20) = 15 x 20

 m.d.c.(15, 20) x m.m.c.(15, 20)  = 300

então:

m.m.c.(15, 20) = 300 :  m.d.c.(15, 20)

m.m.c.(15,20) = 300 : 5 = 60

4- Donde se obtém que o m.m.c.(15, 20) é igual a 300 dividido por 5, 

ou seja m.m.c.(15, 20) = 60.

exemplo 3:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 5 e 20.

 Como podes verificar 5 é divisor de 20  e/ou 20 é múltiplo de 5, logo:

m.m.c.(5,20)= 20

m.d.c.(5,20)= 5

exemplo 4:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 12 e 36.

 Como podes verificar 12 é divisor de 36 e/ou 36 é múltiplo de 12, logo:

m.m.c.(36,12)= 36

m.d.c.(36,12)= 12

exemplo 5:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 4 e 5.

 Como podes verificar 4 e 5 são números primos entre si, logo,

m.m.c.(4,5)= 4x5=20

m.d.c.(4,5)= 1

exemplo 6:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 11 e 10.

 Como podes verificar 11 e 10 são números primos entre si, logo,

m.m.c.(11,10)= 11x10 =120
m.d.c.(11,10)= 1




Vamos relembrar os múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade:

Múltiplos e divisores from earana

Máximo divisor comum (m.d.c.) Algoritmo de Euclides, e números primos entre si...

O  Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números.


 Por exemplo, para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:

• Divisores de 15  (D₁₅₎ = {1,3,5,15.}
• Divisores de 20 (D₂₀₎ = {1,2,4,5,10,20}

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, 

o mdc (15,20) = 5.




Vejamos  outro exemplo:
mdc (20,30,60) = 10

• D₂₀ = {1,2,4,5,10,20}
• D₃₀ = {1,2,3,5,6,10,15,30}
• D₆₀ = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

verificamos que   o maior divisor comum entre esses números é 10, 

portanto mdc(20,30,60) = 10.

Algoritmo de Euclides para determinar o m.d.c:

A aplicação do algoritmo de Euclides é outra forma de determinar  o máximo divisor comum entre dois números. Embora o nome possa meter-te medo, na verdade, trata-se de um processo simples para encontrar o m.d.c...se a este método chamarmos o método das divisões sucessivas, já é mais simples para ti, provavelmente! Imagina que queres encontrar o máximo divisor comum entre 70 e 42. Pelo processo que já aprendeste seria assim: D70={ 1, 2, 5, 7 ,10 ,14, 35, 70} D42={ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 14  seria então o máximo divisor comum entre 70 e 42. No entanto, o algoritmo de Euclides, ou das divisões sucessivas permite calcular de forma mais rápida,  o máximo divisor comum entre dois números.  Mas antes de tudo lembras-te que  numa divisão temos: Observa a imagem abaixo e segue os passos que te vou indicando: Consegues calcular o m.d.c. (70,42)? 1º - Faz uma grelha como a que observas na imagem seguinte; 2º - Colocas o 70 (o teu primeiro dividendo) na segunda linha,  na coluna mais à esquerda e logo do seu lado direito o 42 (o teu primeiro divisor, ou seja, na primeira, linha segunda coluna); 3º - Divides o 70 pelo 42 e colocas o quociente obtido,  na primeira linha da tua grelha, por cima do teu primeiro divisor (42). Nesta primeira linha vão ser sempre colocados todos os quocientes  obtidos nas tuas divisões sucessivas. 70: 42=  1 +  28 4º - O resto da tua primeira divisão (28), vai ser colocado  por baixo do número maior (70). 5º- O resto "salta" para o lado do primeiro divisor  (ou seja, salta para o lado do 42) e será o teu próximo divisor! A próxima divisão a realizar, será então, 42:28 (sempre o maior número a servir de dividendo e, o resto anteriormente obtido, é o divisor); 42:28= 1 + 14 6º - E, novamente o resto vai para baixo do 42 (maior número agora) e também "salta" para o lado do anterior divisor (28),  que agora passa a dividendo! 7º - O processo pára quando se obtém o resto igual a zero e  nesta última divisão (neste caso 28:14) diz-se que este divisor  é o máximo divisor comum entre os dois números, ou seja 14. 28:14= 2 + 0 Agora é só treinar muito, para conseguires interiorizar este processo.  OBS: Será bem mais prático calcular o m.d.c desta forma quando os números são da ordem das centenas (por exemplo)... Consegues calcular o m.d.c. (259,182)? Experimenta e depois dá uma espreitadela no quadro a giz!

Vejamos agora a forma reduzida  de apresentação:

Como calcular o m.d.c. (848,656) através do Algoritmo de Euclides?

m.d.c. (848,656) = 16  ( pois o resto da última divisão é 0.)





OBS: Dois Números  são primos entre si quando o seu máximo divisor comum é 1.


Exemplo: como já vimos  o  mdc (15,20) = 5.

15:5=3  e   20:5= 4

Dividindo dois números pelo seu máximo divisor comum, obtém-se dois números primos entre si.

Dizemos que 4 e 5 são primos entre si, pois o seu máximo divisor comum é 1.

•  (D₅₎ = {1,5.}
•  (_D4) = {1,2,4}

Os Critérios de divisibilidade por 2,3,4,5,6,7,8,9 e 10...

Os números divisíveis por 2:

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).

Por exemplo:
 são divisíveis por 2 :   46, 188, 234...

 

Os números divisíveis  por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é    3,  6 ou 9 

Por exemplo:
 147     -    1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265    -  1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27    e  2 + 7 = 9 é divisível.

65926      -  6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28    e 2 + 8 = 10  não é divisível por 3.

 

Os números divisíveis  por 4:

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4  - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 
758836    -     36 é par e metade de 36 é 18 que é par então   o número é divisível por 4.

9881654    -   54 é par mas metade não é , então o número não é divisível por 4.

 

Os números divisíveis  por 5:

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Por exemplo:
125  é divisível por 5

302350 é divisível por 5

Os números divisíveis  por 6:

Se um número for divisível por 2  e por 3 também  é divisível por 6.

Por exemplo:
12  é divisível por 6 porque 12:2=6  e 12:3=4

180  é divisível por 6 porque 180:2=90  e 180:3=60

 Os números divisíveis  por 7:

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:
245     -    5 x 2 = 10  e depois 24 - 10 = 14  então é divisível por 7.

1589       -   9 x 2 = 18   e   158 - 18 = 140 então é divisível por 7.

204568   -    8 x 2 = 16  e  20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
                     0 x 2 = 0     2044 - 0 = 2044 e novamente
                      4 x 2 = 8     204 - 8 = 196  e novamente
                      6 x 2 = 12   19 - 12 = 7
                       então é divisível por 7.

 

Os números divisíveis  por 8:

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8.  (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

Por exemplo:
90168     -    168  é par ,   168:2=84 é par e 84:2= 42 é par  então o número inicial é divisível por 8.

 

Os números divisíveis  por 9:

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo:
3464514   -    3+4+6+4+5+1+4 = 27   e     2 + 7 = 9      então é divisível por 9.

4524562   -   4+5+2+4+5+6+2 = 28   e     2 + 8= 10    então não é divisível por 9.

 

 Os números divisíveis  por 10:

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.


Por exemplo:
40  é divisível por 10.

350  é divisível por 10.

1280  é divisível por 10


                            
                              Agora , podes treinar  clicando aqui:

Quais são os divisores de...

E se quizeres consolidar os teus conhecimentos, faz a seguinte atividade:

Atividade porto editora from Arminda Oliveira