Números racionais...Fracões, decimais exatos, comparação de números racionais

Um número racional é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que uma unidade, ou número inteiro, foi dividida.

Assim, se por exemplo, tivermos um bolo inteiro e o dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fracção do bolo.

Na matemática, um número racional (também se pode designar por fracção) é uma razão entre dois números  inteiros, geralmente escrita na forma a/b onde b é um número inteiro diferente de Zero.

O conjunto de todos os números racionais é designado por Q. Deste grupo fazem parte os números inteiros (Z) e os números naturais (N).

números naturais (N)= {1,2,3,4,5,6,7,......}

números inteiros (Z)= {...., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,......}

números racionais (Q)= {...., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,   23/2,   5/9,   34,2    ......} ou seja o conjunto dos números racionais é formado por todos os números naturais, todos os números inteiros e todos os números racionais ( frações e decimais)

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo,
5/2 = 2,5 = 10/4= 20/8 = 40/16...

Os números  racionais podem ser decimais exactos:

1/2 = 0,5

5/4 = 1,25

ou decimais periódicos:

5/3 = 1,66... (período 6)

1/3 = 0,3333...(período 3)





Todo o número Racional pode ser representado por uma fracção.


Toda a fracção pode ser representada por um número escrito em forma decimal, dividindo-se o numerador pelo denominador da fracção:

Uma fracção é decimal quando seu denominador é 10, ou uma potência de 10, ou ainda, uma fracção equivalente a fracções desse tipo:

Se uma fracção é decimal, então sua expressão na forma decimal é um decimal exacto.


Os números decimais compreendem duas partes, inteira e decimal, separadas por uma vírgula.


Na Figura, abaixo, são representados três números: 32,444; 27 504,53; e 0,3567

Para representar os números decimais sobre uma recta, adoptamos o seguinte 

procedimento:

•	Representamos os números inteiros como indica a Figura , abaixo:

•	Dividindo a unidade em dez partes iguais, obtemos os décimos e poderemos representar os números com uma ordem decimal (Figura  abaixo).

•	Se dividirmos cada décimo em dez partes iguais, ficam assinalados os centésimos, como  podemos ver na Figura abaixo. Representamos assim os números com duas ordens decimais.

Adoptando este processo, podemos representar os diferentes números decimais exactos.


Qual destes número é maior: 3,426 ou 3,45?

Para resolver esta questão, colocamos os números um em baixo do outro com os algarismos

 de mesma ordem alinhados:

3,426

3,45

Os limites máximo e mínimo dos números do exemplo estão  representados na reta da 

figura abaixo:

Comparando o par de algarismos correspondentes aos centésimos, resulta que: 2 < 5

Para praticar, é só clicares: 

Exercícios com números racionais


Exercícios com frações que representam números inteiros


Exercícios com frações de tempo


Exercícios com ordenação de números racionais


Exercícios de conversão de frações em dízimas


Exercícios de comparação de números racionais

Problemas com números racionais

Regras para a multiplicação e divisão de potências com a mesma base ou com expoente iguais, potência com expoente zero

1-Regras para a multiplicação de potências com o mesmo expoente :

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, mantém-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases.

      aⁿ x bⁿ = ( a x b )ⁿ      n   pertence ao conjunto dos números naturais (IN)
                                                       e a e b  são um um número qualquer

exemplo:   8⁵ x 5⁵ = 
= 8x8x8x8x8 x 5x5x5x5x5 aplicando a propriedade comutativa
= (8x5) x (8x5) x (8x5) x (8x5) x (8x5)
= (8 x 5)⁵  
= 40⁵

2-Regras para a multiplicação de potências com a mesma base :

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes .


      aⁿ x a^p = a^n + p                   n, p pertencem ao conjunto dos números 
                                                          naturais (IN) e a é um número qualquer


Exemplo:     6 ³ x 6 ² = 
                 = (6 x 6 x 6 )  x   (6 x 6)
                 = 6 ^{3 + 2} 
                 = 6 ⁵

3-Regras para a divisão de potências com a mesma base :

Para dividir potências com a mesma base (diferente de zero), mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

   aⁿ : a^p = a^n - p , n > p                                n, p pertencem ao conjunto

                                                                                dos números naturais  (IN) e  a

                                                                       é  um número qualquer diferente de zero.

Exemplos:   7 ⁸ ÷ 7 ² 
               =  (7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7)  ÷ (7 x 7)
               =  7 ^8 – 2
               = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7
               = 7 ⁶

            35 : 3 =
           = 35 : 31 

           =  3(5-1) = 34

     explicação --> (3x3x3x3) x (3) : (3) = 3(5-1)

4-Regras para a divisão de potências com o mesmo expoente :

Para dividir potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e dividem-se as bases (divisor diferente de zero).

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ          n pertence ao conjunto dos números naturais  (IN )
                                                e b um número qualquer diferente de zero

an	=	(	a	)	n
bn			b

Exemplo:        8⁵ : 2⁵ =
= 8 x 8 x  8 x 8 x 8 : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 aplicando a propriedade associativa
= (8:2) x (8:2) x (8:2) x (8:2) x (8:2)
=(8 : 2)⁵ 
= 4⁵
  

• Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à base.

5¹ = 5

25¹ = 25 

• Sempre que o expoente for igual a zero o seu resultado será igual a 1.

Exemplos: 2⁰ = 1

5⁰ = 1

10⁰ = 1

65⁰ = 1 




NOTA:   Para somar ou subtrair   potências, calcula-se o valor de cada uma das potências e somam-se ou subtraem-se os resultados. 


Exemplos:                
 3⁴ + 6³ = 81 + 216 = 297

 6^{3   _}  3⁴ =  216  -  81 = 135

Para praticar, é só clicares:

Exercícios com potências

Exercícios sobre as regras de potências

Exercícios com operações de potencias

Potenciação e potências...

Quando estudamos as primeiras operações matemáticas 
conhecemos uma adição onde todas as parcelas eram iguais.
E descobrimos que essa adição era na verdade uma nova operação matemática 
denominada Multiplicação. 

Assim, aprendemos que :

     3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 = 12    

      2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 = 10

E se  na multiplicação  todos os factores são iguais ?


2 x 2 x 2 = 8    ou 


3 x 3 x 3 x 3 = 81

A exemplo do que fizera com a adição de parcelas iguais, criou-se uma nova operação

 matemática que se chama  Potenciação e que se define como sendo

 uma multiplicação  de factores iguais.

Para representarmos uma multiplicação onde os fatores são todos iguais (Potenciação),

usamos a seguinte notação :

• 2 x 2 x 2 = 2³ = 8 e lê-se : dois elevado à terceira potência e é igual a oito;

• 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴ = 81 e lê-se : três elevado à quarta potência e

        é igual a oitenta e um;

• 5 x 5 = 5² = 25 e lê-se : três elevado à segunda potência e é igual a vinte e cinco.

De um modo geral, podemos representar uma potenciação da seguinte forma :

Uma potência é uma forma de representar um produto de factores iguais:

a base indica o factor que se repete
o expoente indica o número de vezes que o factor se repete

lê-se três ao cubo ou três elevado a três


exemplo:

Numa rua há quatro árvores, em cada árvore há quatro ninhos e em cada ninho há 4 passarinhos.

Escreve sob a forma de potência e, em seguida, calcula quantos passarinhos há nas quatro árvores.



Resposta:   
4 árvores
4 ninhos
4 passarinhos
    -------->  4 x 4 x 4 = 4^{3 
                  16 x 4 = 64} 

^{Resposta: nas quatro árvores  há  64 passarinhos}

PARA PRATICAR É SÓ CLICARES:





exercício sobre potencias



exercícios de aplicação de  potencias



Descobre as potências



Exercícios de leitura de potências 

REVISÕES COM EXERCÍCIOS sobre áreas, perímetros e volumes ...

Teste Matemática 6ºano: áreas, perimetros,volumes from Profjoaopaulo Silva

Problema 1: Perímetros

A Ana pretende vedar vários canteiros retangulares no seu jardim, separados uns dos outros, para plantar flores. Todos os canteiros são retangulares, com 1,2 m de comprimento e 0,5m de largura. 

A Ana tem 23 m de rede.

Quantos canteiros pode a Ana vedar?

P= 2 x 1,2 m + 2 x 0,5 m = 3,4 m

23 m : 3,4 m = 6 canteiros

Resposta: A Ana pode vedar 6 canteiros

Sobrou rede? Se sim, quantos metros?

6 x 3,4 m = 20,4 m

23 m - 20,4 m= 2,6 m

Resposta: Sobrou 2,6 m de rede

Problema 2: Áreas

Uma pizza tem 22 cm de raio.

Na pizzaria há caixas com base quadrada com 25 cm, 30 cm, 45 cm e 50 cm. Em que caixas caberá a pizza?

Área pizza= 3,14 x 22 cm x 22 cm=1519,76 cm2

Área da base quadrada = 25x25= 625 cm2
Área da base quadrada = 30x30= 900 cm2
Área da base quadrada = 45x45= 2025 cm2
Área da base quadrada = 50x50= 2500 cm2

Resposta: Caberá em caixas com 45cm e 50 cm.

Problema 3: Áreas
Observa a figura.

Determina a área da parte colorida da figura.

Resolução:

Resposta: A área colorida é 14,25 cm2.



Problema 4: Áreas

Qual é a área total das zonas sombreadas da figura?

Área sombreada do [ABFG] = 36 x 1/2 = 18 cm2
Área sombreada do [BCDE] = 64 x 3/4 = 48 cm2
Área total das zonas sombreadas= 18 + 48 = 66  cm2

Resposta:A area total é 66 cm2

Qual o comprimento do [FE]? 
O comprimento do [BE]= 8 cm  ( Área do [BCDE]= 8x8=64  cm2)
O comprimento do [BF]= 6 cm   ( Área do [ABFG]= 6x6=64  cm2)

comprimento do [FE]= comprimento do [BE] - comprimento do [BF]= 
                             =8 - 6 = 2 cm

Resposta:  [BF]=2 cm

Problema 5: Volumes

 Observa as dimensões do novo aquário do Diogo. 

O Diogo decidiu colocar uma camada de areia de 6 cm de espessura no fundo do aquário. 

Que quantidade de areia, em cm³, deverá o Diogo comprar? 

Vparalelepípedo= C x L x h
V= 50 cm x 30 cm x 6 cm= 9000 cm³

Resposta: O Diogo deverá comprar 9000 cm³ de areia

Problema 6: Volumes

Introduziu-se na proveta um paralelepípedo, que ficou completamente submerso.

As dimensões do paralelepípedo são:      

- Comprimento: 8 cm , largura;2 cm,  altura: 3 cm

Qual é a leitura do volume marcado na proveta, depois de colocado na proveta o paralelepípedo?

Volume do paralelepípedo= 8 cm x 2 cm x 3 cm= 48 cm³

leitura do volume= 60 cm3+ 48 cm3 = 108 cm³

Resposta: A leitura do volume é 108 cm³

Problema 7: Volumes

Na casa da Lara, gastam-se por mês 50 garrafas de 1,5 litros de água. Para ficar mais económico, os seus pais resolveram passar a comprar a água em garrafões de 5 litros. Quantos garrafões são  necessários comprar?

Resolução:

50 x 1,5 = 75 litros

75 litros : 5 litros = 15

Resposta: São necessários comprar 15 garrafões de 5 litros.

Mais exercícios  sobre áreas e perímetros com soluções:

Exercícios resolvidos perimetros e areas from Helena Borralho

Mais exercícios  sobre volumes com soluções:

Volumes by Helena Borralho

Ficha de avaliação de matemática 6º ano e sua correção

Correção

1.1 - 77/4

1.2 - 3/4

2 

1/5 x 35 = 7

35 - 7 = 28

Existem 7 laranjas podres e 28 em condições.

3.1 

diâmetro da base: 8 cm

altura: 10 cm

3.2 - Volume (cilindro) = 502,4 cm cúbicos

5 - Perímetro = 25 cm

Decompõe-se a área em duas partes.

Área = A1 + A2 = (3 x 5,5) + (3 x 4) = 28,5 cm quadrados

6.1 

A = 7 cm cúbicos

B = 6 cm cúbicos

C = 11 cm cúbicos

7  

Volume (paralelepípedo) = 1500 cm cúbicos

Volume (cilindro) = 58,3726 cm cúbicos

8 - 

12 : (3 x 2) = 2

A altura é 2 m.

9 - Falso pois 20 ao cubo é igual a 8000 e 10 ao cubo é igual a 1000.

10.1 - V (paralelepípedo) = 228 cm cúbicos = 22,8 cl

10.2 - 1,80 - (0,20 x 1,80) = 1,44€

11 - Calcula-se o volume de cada cilindro. Depois faz-se a razão entre o V(A) e o V(B). V(A) / V (B) = 1/8.

12 - V (cilindro) = 602,88 cm cúbicos = 0,60288 l

13.1 - 2 x 3 x 6 + 4 x 9 x 2

13.2 - 2 x 3 x 6 + 4 x 9 x 2 = 108 cm cúbicos = 108000 mm cúbicos

13.3 - 108000 x 4 = 432000g

Planificação do cilindro

A superfície lateral do cilindro é um rectângulo em que:

• o comprimento do rectângulo é igual ao perímetro do círculo da base do cilindro;
• a largura do rectângulo é igual à altura do cilindro.

As bases do cilindro são círculos geometricamente iguais.

Exercício de aplicação:

Exercício de aplicação de planificação de cilindro