Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exacta, por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):
O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M(30) = 0,30,60,90,120,150, ...

• M(60) = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.



Vejamos  outro exemplo:

mmc (5,9) = 45, porque

• M(5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
• M(9) = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.



Máximo divisor comum (mdc):
O  Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:

• D(15) = 1,3,5,15.
• D(20) = 1,2,4,5,10,20.

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, o mdc (15,20) = 5.

Vejamos  outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois


O maior divisor comum entre esses números é 10, portanto mdc(20,30,60) = 10.

• D(20) = 1,2,4,5,10,20
• D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30
• D(60) = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

Decomposição em factores primos

A professora do  Nuno pediu-lhe para escrever todas as multiplicações possíveis  do número 36 com a  seguinte característica:
   -Os divisores só podem ser números primos

Utilizando o esquema seguinte, o Nuno concluiu que :

36 = 2 x 18

                         18 = 2  x  9

                                                  9 = 3 x 3

ou seja  36 =  2 x 2 x 3 x 3

36 = 2² x 3²

Lembras-te que todo  o número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores, vejamos por exemplo:

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2
24 = 2³ x 3


Decomposição do número 50: 
50 = 2 x 5 x 5
50 =  2 x 5²


Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 =   2² x 5



Regra prática para a decomposição em factores primos.:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a decomposição em factores primos do número 630.
Então
630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 3² x 5 x 7

Um pouco de história...O Crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

 

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  

Critério para Reconhecer se um Número é Primo

Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

• resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.

ou

• quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.

Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:

Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:

Concluímos que 221 é um número composto.

Números Primos e números compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.


Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)

11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}


O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …}

Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.


Sabias  que:

• O número 2 é o único número par que é primo.
• O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

Problemas com divisores

A Ericksa, a Inês, a Magda, a Catarina a Rita e a Beatriz ,  organizaram um piquenique, para comemorar a chegada da Primavera, onde convidaram colegas, professores e familiares.



No final,  decidiram tirar uma fotografia aos seus 96 convidados. De quantas maneiras se podem  organizar os convidados, se fizerem menos de 10 filas, todas com o mesmo número de pessoas, sendo que os convidados mais baixos, ficam na primeira fila ?







Como resolver?




Determinamos os divisores de 96 


D96 ={1;2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96}




Uma vez que têm que fazer menos de 10 filas, podem  formar 2, 3, 4,6 ou 8  filas

• 2 filas com 48 pessoas
• 3 filas com  32 pessoas
• 4 filas com 24 pessoas
• 6 filas com 16 pessoas
• 8 filas com 12  pessoas

Concluímos que  para tirar a fotografia,  os convidados podem   organizarem-se de 5 maneiras diferentes.

Divisores de um número

Os divisores de um número natural são todos os números naturais que o dividem, sendo o resto da divisão zero, ou seja que o dividem num número  inteiro de vezes.

Exemplo:
Os múltiplos de um número são exactamente os números que são divisíveis por esse número.
                7 é divisor de 42, porque  42 = 7 x 6


Como encontrar todos os divisores de um número?

Será necessário dividir por todos os números naturais menores ou iguais a ele próprio? Claro que não!!!!

Observa o esquema de todos os divisores de 30.
 

Os divisores descobrem-se aos "pares", por exemplo:
30 : 2 = 15, pois 2 x 15 = 30, por isso 2 e 15 são divisores de 30.

D(30)={ 1, 2,3,4,5,6,10,15,30}

Como sabemos que temos todos os divisores de um número?


No caso do 30 é fácil, porque 30 : 5 = 6, e entre 5 e 6 não há mais nenhum número natural...por isso, sabemos que descobrimos todos.


Mas como sabemos que temos de dividir até ao 5?

Mais tarde aprenderás a raiz quadrada que te permite saber onde parar!

7 é divisor de 42	7 não é divisor de 45

Vejamos ainda  outro exemplo:

Um embalagem possui 18 lápis de carvão. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em caixas com quantidades iguais de lápis?

Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 lápis em cada caixa
2 grupos com 9 lápis em cada caixa
3 grupos com 6 lápis em cada caixa
6 grupos com 3 elementos em cada caixa
9 grupos com 2 elementos em cada caixa
18 grupos com 1 lápis em cada caixa

           Logo, o conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

Múltiplos de um número

 

Múltiplo de um número inteiro é o produto desse número por qualquer número inteiro.

Exemplo 1:

2 X 0 = 0

2 X 1 = 2

2 X 2 = 4

2 X 3 = 6

2 X 4 = 8
...

M2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…} são os múltiplos de 2

Exemplo 2:

4 X 0 = 0

4 X 1 = 4

4 X 2 = 8

4 X 3 = 12

4 X 4 = 16

...

M4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,  …} são os múltiplos de 4


Exemplo 3:

5 X 0 = 0

5 X 1 = 5

5 X 2 = 10

5 X 3 = 15

5 X 4 = 20
...

M5 = {0, 5, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 ,60…} são os múltiplos de 5 

Múltiplos e Divisores

Numa divisão existem alguns termos que tens que conhecer:

• dividendo (número que será dividido)
• quociente (resultado da divisão)
•  divisor (número que divide) 
•  resto (o que sobra da divisão).

 Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exacta e  podemos encontrar múltiplos e divisores.

Por exemplo:

A Catarina  recebeu no Carnaval  123 serpentinas  e decidiu partilhá-las com a Rita e o Bruno. Quantas serpentinas terão cada um? será que sobra alguma ?

quando resolvemos a divisão 123 : 3 encontramos como quociente 41 e resto igual a 0.

Cada um irá receber 41 serpentinas.

Concluímos que essa divisão é exacta (não sobra resto maior que zero), então dizemos que:

• 123 é divisível por 3, pois a divisão é exacta;
• ou que 123 é múltiplo de 3, pois existe um número natural que multiplicado por 3 resulta em 123;
• ou que 3 é divisor de 123, pois existe um número que divide 123 e resulta em 3.

A partir desse exemplo podemos definir múltiplo e divisor como:


Múltiplos são resultados de uma multiplicação de dois números  naturais. Por exemplo, 30 é múltiplo de 6,  pois 6 x 5 = 30.

Exemplos de múltiplos:

M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35, ... }
M(15) = {0,15,30,45,60,75, ... }
M(10) = {0,10,20,30,40,50,60, ... }
M(2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16, ...}

Divisores são números naturais que dividem outros, desde que a divisão seja exacta, por exemplo: 2 é divisor de 10, pois  10: 2 = 5.

Exemplos de divisores:

D(55) = {1,5,11,55}
D(10) = {1,2,5,10}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
D(200) = {1,2,4,5,8,10,20,40,50,100,200}

Critérios de divisibilidade

Os números divísiveis por 2:

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).

Por exemplo:
 são divisíveis por 2 :   46, 188, 234...

 

Os números divísiveis  por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é    3,  6 ou 9 

Por exemplo:
 147     -    1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265    -  1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27    e  2 + 7 = 9 é divisível.

65926      -  6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28    e 2 + 8 = 10  não é divisível por 3.

 

Os números divísiveis  por 4:

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4  - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 
758836    -     36 é par e metade de 36 é 18 que é par então   o número é divisível por 4.

9881654    -   54 é par mas metade não é , então o número não é divisível por 4.

 

Os números divísiveis  por 5:

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Os números divísiveis  por 6:

Se um número for divisível por 2  e por 3 é divisível por 6.

 Os números divísiveis  por 7:

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:
245     -    5 x 2 = 10  e depois 24 - 10 = 14  então é divisível por 7.
1589       -   9 x 2 = 18   e   158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568   -    8 x 2 = 16  e  20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
                     0 x 2 = 0     2044 - 0 = 2044 e novamente
                      4 x 2 = 8     204 - 8 = 196  e novamente
                      6 x 2 = 12   19 - 12 = 7
                       então é divisível por 7.

 

Os números divísiveis  por 8:

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8.  (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

Por exemplo:
772673290168     -    168  é par ,   168:2=84 é par e 84:2= 32 é par  então o número inicial é divisível por 8.

 

Os números divísiveis  por 9:

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo:
3464514   -    3+4+6+4+5+1+4 = 27   e     2 + 7 = 9    então é divisível por 9

4524562   -   4+5+2+4+5+6+2 = 28   e     2 + 8= 10    então não é divisível por 9.

 

 Os números divísiveis  por 10:

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.



Divisão de um número natural por potências de base 10

Vamos ver agora uma  propriedade básica de DIVISÃO por 10.

5 ÷ 10	=	0,5
52 ÷ 10	=	5,2
458 ÷ 10	=	45,8
30 ÷ 10	=	3,0

 

e uma  propriedade básica de DIVISÃO por 100:

5:100 = 0,05

52:100 = 0,52

458:100 = 4,58

50:100 = 0,5

e uma  propriedade básica de DIVISÃO por 1000:

5:1000 = 0,005

52:1000 = 0,052

458:1000 = 0,458

50:1000 = 0,05