Problemas do dia-a-dia com fracções e percentagens...

A Maria tinha 30  euros e gastou um terço do seu dinheiro  na compra de um CD e dois quintos na compra de um livro.

 a) Quanto gastou na compra do CD?

b) Quanto gastou na compra do livro?

c) Quando chegou à caixa, era dia do Livro e ganhou um vale de 10% no valor do livro  para descontar, da próxima vez. Qual o valor do desconto? Quanto pagou pelo livro?

RESPOSTA:

a) um terço de 30€ 

   =    1/3     X  30€

    = 0,33(3)  x 30€

         =  10€

Gastou 10 € na compra do CD

b) dois quintos de 30€

  = 2/5   x 30€

 = 0,4  x 30€

 =  12€

c)   10% de 12 €

   = 10/100  x 12€

  =  0,1    x 12€

 = 1,2€

O valor do desconto é 1,20 €, ou seja pagou pelo livro  10,80€   ( 12€ - 1,20€   =  10,80€)

Mais problemas do dia-a-dia com percentagens ....

Na época dos saldos, a Rita  foi comprar um casaco que custava 120 euros, mas tinha 20% de desconto.

Quanto pagou a Rita  pelo casaco?

RESPOSTA:

Podemos resolver de pelo menos duas formas:

a) 20% de 120€      

  = 20/100  x 120€

  = 0,2   x 120€

  = 24€  este é o valor do desconto

Pagou  96 € pelo casaco (120€ -24€= 96€)

OU 

   

80%  de 120€   

   (os 80% representam  a percentagem  do valor do casaco, após o desconto de 20%)

  

= 80/100  x 120€

  = 0,8   x   120€

  = 96€  custo do casaco, após o desconto

O Nuno comprou um LCD na Makro que  custou 1000 € mais 23% de IVA. Quanto pagou o Nuno pelo LCD?

RESPOSTA:

Podemos resolver de pelo menos duas formas:

a) 23% de 1000€      

  = 23/100  x 1000€

  = 0,23   x 1000€

  = 230€  este é o valor do IVA

Pagou  1230€ pelo LCD  (1000€ +230€= 1230€)

OU    

     123%  de 1000€   

(os 123% representam  a percentagem  do valor do LCD, após a aplicação do IVA  de 23%)

 = 123/100  x 1000€

  = 1,23   x 1000€

  = 1230€   é o custo do LCD, após  a aplicação do IVA.

Problemas do dia-a-dia com percentagens...

Problema1:

Na escola da irmã do Samuel há  25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

Resposta:    24% de 25 professores---------> 0,24 x 25 = 6

há 6 professores que leccionam matemática




Problema 2:

O gráfico seguinte diz respeito às idades dos alunos de  uma turma  de 5º ano.

2.1  Qual é a percentagem relativa a alunos com 12 anos?

2.2  Sabendo que os alunos com 12 anos são 9, quantos alunos tem a turma?

Resposta:
2.1  100% -( 56% + 8% ) = 
      = 100%  -  64%
      =  36%


A percentagem de alunos com 12 anos é de  36%




2.2 se  36% dos  alunos da turma representam  9 alunos   


 podemos recorrer à fracção decimal :

 e calcular a fracção equivalente. Concluimos  que há 25 alunos na  turma do 5º ano

Noção de Percentagens e noção de razão

Uma percentagem traduz a comparação entre um número (uma parte) e o número 100 (o todo).

É uma forma de apresentar a razão entre duas grandezas de modo que o denominador é sempre igual a  100.

ou seja uma percentagem é uma razão com consequente 100.

Usa-se o símbolo % para representar uma percentagem.


Exemplo:

A razão entre 1 e 4 será 1/4		= 0,25     isto é, em termos de percentagem:

25/100  =  0,25  =   25%

Inversamente:A percentagem 4% equivale a	4	ou ainda	1	.
	100		25

Exemplo da utilização das percentagens no dia-a-dia :
Quando se diz que 53% de uma pizza é massa, isto significa que, em cada 100 g de pizza 53 g é massa!

Obs: Vamos relembrar a noção de razão:

Uma razão permite comparar dois números a e b calculando o quociente entre eles e escreve-se das seguintes formas:

a	, ou a : b ou a / b (com b ≠ 0)
b

que se lê:    "a razão entre a e b" ou "razão de a para b"

Na razão	a	, a e b são os termos da razão, a o antecedente e b o consequente.
	b

a	← Antecedente (numerador)
b	← Consequente (denominador)

Percentagem

As percentagens baseiam-se nas   fracções centesimais, isto é, aquelas que possuem denominador com valor numérico igual a 100. 

As expressões 10%, 12%, 25%, 50%, 78% e etc, são utilizadas em inúmeras situações do nosso dia-a-dia. 

Vamos tentar  compreender o seu significado com este   exemplo. 

Na aula de EVT, o Samuel esteve a pintar mosaicos com as cores disponíveis na sala. Os mosaicos eram quadrados, compostos de 100 quadradinhos. 

Mosaico 1
 

Do total de 100 quadradinhos, temos que: 14 são azuis e 18 são vermelhos.

ou seja,

Quadrados azuis → 14 de 100 → 14/100= 0,14 → corresponde a 14% do total.

Quadrados vermelhos → 18 de 100 → 18/100=0,18 → corresponde a 18% do total. 


Mosaico 2

Do total de 100 quadradinhos, temos que: 58 são verdes. 

Quadrados verdes → 58 de 100 → 58/100=0,58 → 58% do total.
 

Mosaico 3

Do total de 100 quadradinhos, 36 são vermelhos e 16 são azuis.

 Então:

Quadrados vermelhos → 36 de 100 → 36/100=0,36 → 36% do total. 

Quadrados azuis → 16 de 100 → 16/100=0,16 → 16% do total.

Adição e Subtracção de Fracções

Só podemos  adicionar ou subtrair fracções, se tiverem o  mesmo denominador, para isso  somam-se ou subtraem-se  os numeradores e mantém-se o denominador.

1º exemplos de fracções com  denominadores iguais : 

Outros exemplos

2º exemplos de fracções com  denominadores diferentes :

Para somar ou subtrair  fracções com denominadores diferentes, uma forma de resolver será calcular  as  frações equivalentes, com  denominadores iguais  através da aplicação do Mínimo Múltiplo Comum (mmc):

Exemplo:  para somar as fracções

calculo  o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.

	(10:5)=2 2 x 4 = 8		(10:2)=5 5 x 5 = 25
Como as fracções já têm o mesmo denominador. podemos somar os numeradores e manter o mesmo denominador.

Para concluir utilizamos o mmc para obter as fracções equivalentes e depois somamos ou subtraimos os numeradores  das fracções, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o exemplo 1.  






    

Comparação de fracções

Para compararmos fracções temos 3 situações :


1-  Fracções com o  mesmo numerador: Entre fracções com o mesmo numerador,  a maior delas é aquela que possui o menor denominador e a menor delas é a que possui maior denominador.






ou seja,  






2-  Fracções com o  mesmo denominador: Entre fracções com o   mesmo denominador, a maior delas é aquela que possui o maior  numerador e a menor delas é a que possui menor numerador.






ou seja  :

 




3-  Fracções com o  numerador e o denominador diferentes: Entre fracções com  denominadores diferentes e  numeradores diferentes,  devemos transformá-las, preferencialmente,  em fracções com o  mesmo denominador e aplicarmos a comparação para fracções de mesmos  denominadores.

por exemplo:

Se  compararmos as fracções:


Temos que encontrar  um denominador comum, múltiplo simultâneo de 3, 4 e 6.
Para  facilitar  esse múltiplo deve ser o menor possível.


Calculemos, então o M.M.C. entre os denominadores 3, 4 e 6 => M.M.C.( 3, 4 e 6 ) = 12 Com isso todas as três fracções serão escritas com o denominador 12.

 

 desta forma podemos comparar as fracções

e concluimos  que :   

Simplificação de Fracções

Simplificar uma fracção significa encontrarmos uma fracção equivalente a ela e escrita com números primos entre si.

A essa fracção denominamos Fracção Irredutível.

Exemplo:

A fração dividindo ambos os seus termos por 8 teremos:

                   . Os termos da fracção  são primos entre si e

essa fracção é irredutível é  equivalente à  fracção .

Fracções Equivalentes

Fracções Equivalentes ou iguais?

 

Fracções como estas :

são chamadas de fracções equivalentes.

"Equi" indica igualdade. "Valente" significa "que tem valor".

  

 Esta situação pode provocar controvérsia: será que é mesmo igual a ?

Afinal, é um pedaço só e são dois pedaços.

 Devemos dizer "fracções equivalentes" e escrever que são "iguais"?

para não haver dúvidas, podemos dizer e escrever "igual", pois as duas fracções representam partes do mesmo tamanho.

  e são equivalentes ou seja  =

Fracção decimal e número decimal

A figura  mostra um paralelepípedo com  as suas dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fraccionários.

 Repara  que  nas máquinas  de calcular,  utilizamos unicamente a forma decimal.

Observa as seguintes  fracções decimais:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:

Denominam-se fracções decimais, todas as fracções que apresentam potências de 10 no denominador. e também se podem representar sob a forma de números decimais, tal como poderão verificar a seguir: 3:10= 0,3 4:100=0,04 19:100= 0,019 48:10000= 0,0048 OBS: sabias que  a representação dos números fraccionários já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.