Volume do cilindro

 As bases do cilindro estão situadas em planos paralelos.

     Os cilindros  são gerados pela revolução completa de um rectângulo, em torno de um dos seus lados. O cilindro de revolução que podemos ver na figura foi gerado pelo rectângulo [ABCD] , quando este roda uma volta completa em torno do lado [AB] .

    Ao lado [AB] chamamos eixo do cilindro de revolução, e ao seu comprimento chamamos altura do cilindro de revolução. 

A geratriz do cilindro é o lado [CD] , pois este gera a superfície lateral do cilindro. Os lados [AD] e [BC] que geram as bases do cilindro são raios.

   

 A altura dum cilindro de revolução é igual ao comprimento das geratrizes.

 V_cilindro = Área da base × altura                  Ex.:  V_cilindro = π × 3² ×  10 = 282,6 cm³
    V_cilindro = A_b × h                                  considerando π = 3,14
                                                         

Exercício de aplicação de volumes:

http://matematica7.com.sapo.pt/7ano/cap0/ex10.html

Medidas de capacidade e de volume

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. 

Capacidade é o volume interno de um recipiente.

   


 A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

   

 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

    1l = 1dm³

    Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos			Unidade Fundamental	Submúltiplos
quilolitro	hectolitro	decalitro	litro	decilitro	centilitro	mililitro
kl	hl	dal	l	dl	cl	ml
1000l	100l	10l	1l	0,1l	0,01l	0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm³

1ml = 1cm³

1kl = 1m³

    Leitura das medidas de capacidade:

Exemplo: a seguinte medida: 2,478 dal

kl	hl	dal	l	dl	cl	ml
		2,	4	7	8

    Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Transformação de unidades

   Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

  Observe a seguinte transformação:

• transformar 3,19 l para ml.

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

    Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).

                              3,19 x 1.000  =  3.190 ml

Medidas de volume

    Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

   

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico.
O metro cúbico (m³) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 metro de aresta.

     Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos			Unidade Fundamental	Submúltiplos
quilômetro cúbico	hectômetro cúbico	decâmetro cúbico	metro cúbico	decímetro cúbico	centímetro cúbico	milímetro cúbico
km3	hm3	dam3	m3	dm3	cm3	mm3
1.000.000.000m3	1.000.000 m3	1.000m3	1m3	0,001m3	0,000001m3	0,000000001 m3

 

    

    Na leitura das medidas de volume  devemos utilizar  três algarismos em cada unidade no quadro.
 No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s).

 Exemplos:

•  A seguinte medida: 75,84m³

km3	hm3	dam3	m3	dm3	cm3	mm3
			75,	840

    Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

---

•  A medida: 0,0064dm³

km3	hm3	dam3	m3	dm3	cm3	mm3
			0,	006	400

    Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Volume do cubo e do paralelipipedo

  

V_cubo = a × a × a = a³                     Ex.:  V_cubo = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 cm³
                                   



V_{paralelepípedo} = a × b × c                         Ex.:  V_{paralelepípedo} = 5 × 3 × 2 = 30 cm³
                 



V_prisma = Área da base × altura                 Ex.:  V_{prisma hexagonal} = 25 × 3
    V_prisma = A_b × h                                                                          = 75 cm³
                                             

Sólidos equivalentes

Os sólidos equivalentes são aqueles que têm o mesmo volume.

O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa.

Para medir o volume de um sólido é necessário definir a porção de espaço que corresponde a uma unidade de medida. Depois, o volume do sólido é igual ao número de vezes que a unidade de medida cabe no sólido ou em quantas dessas unidades o sólido se pode decompor.

Se  = 1 unidade de volume, a medida deste sólido  é 3.

UNIDADE	SUBMÚLTIPLOS
m3	dm3	cm3	mm3

Cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Unidade principal:

metro cúbico     m3

1 m3 = 1000 dm3

Submúltiplos	{	Decímetro cúbico	dm3		1 dm3	= 0,001 m3
		Centímetro cúbico	cm3		1 cm3	= 0,000 001 m3
		Milímetro cúbico	mm3		1 mm3	= 0,000 000 001 m3

Áreas de poligonos

• A_quadrado = ℓ × ℓ = ℓ²

           
    Seja  ℓ = 3 cm
    A_quadrado = 3 × 3 = 9 cm²

•  A_rectângulo = a × c

           
    Sejam  a = 2 cm  e  c = 5 cm
    A_rectângulo = 2 × 5 = 10 cm²

•  A_{paralelogramo} = b × h

           
    Seja  b = 6 cm  e  h = 2 cm
    A_{paralelogramo} = 6 × 2 = 12 cm²

Atriângulo =	b × h
	2

           
    Seja  b = 4 cm  e  h = 3 cm

Atriângulo=	4x3	= 6cm2
	2

• A_círculo = π × r²

           
    Seja  r = 5 cm  e  π = 3,14
    A_círculo = 3,14 × 5² = 78,5 cm<sup>2




Exercício  de aplicação de áreas:
http://matematica7.com.sapo.pt/7ano/cap0/ex8.html</sup>

Áreas equivalentes

Duas superfícies são equivalentes quando têm a mesma área, como por exemplo, as superfícies A e B .

            A              B  

• A medida da área de A é 12 se a unidade de área for .
  
  
• A medida da área de A é 6 se a unidade de área for .
  
  
• A medida de área de uma superfície é igual ao número de vezes 
  que a unidade de área escolhida cabe na superfície considerada.
  
  
  
  
• No sistema métrico a unidade fundamental de área é o metro quadrado ( m² ).
  
  1 metro quadrado ( 1 m² ) é a área de um quadrado com 1 metro de lado.

Medir áreas

Medir uma área   é  compará-la com a unidade de área que escolhemos.

                         

UNIDADES  DE  MEDIDA  DE  SUPERFÍCIE

-para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior multiplica-se por 100;




-para passar de uma unidade para outra imediatamente superior divide-se por 100;

Perimetros

O perímetro de uma figura fechada e plana é o comprimento da linha que a limita.
O perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana.

• P = ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4 × ℓ = 4ℓ

            

• P = c + c + a + a = 2 × c + 2 × a = 2c + 2a

            

• P = a + a + a = 3 × a = 3a

            

• P = a + a + b = 2 × a + b = 2a + b

            

• P = a + b + c + d

            

• P = a + a + a + a + a + a = 6 × a = 6a

            

• O Perímetro de um círculo é o comprimento da circunferência que define o círculo e é calculado pela fórmula:

P = 2 π r
π ≈ 3,14	r - raio da circunferência Exercício com perímetros:

http://matematica7.com.sapo.pt/7ano/cap0/ex7.html

Um pouco de história: as primeiras medições

A necessidade de medir é tão antiga quanto a de contar. Quando o homem começou a construir as suas habitações e a desenvolver a agricultura, precisou criar meios de efectuar medições.


 Para medir comprimentos, o homem tomava o seu próprio corpo como referência. Usava como padrões determinadas partes de seu corpo. Foi assim que surgiram: a polegada, o palmo, o pé, a jarda, a braça, o passo.                                                                Alguns desses padrões continuam a ser usados até hoje.



 O cúbito é a distância do cotovelo à ponta do dedo médio. Como as pessoas têm tamanhos diferentes, o cúbito variava de uma pessoa para outra, ocasionando as maiores confusões nos resultados das medidas. 

Os egípcios resolveram então fixar um padrão único: em lugar de partes do corpo eles resolveram usar nas suas medidas barras de pedras com o mesmo tamanho. Foi assim que surgiu o cúbito - padrão.
 Como a civilização egípcia se desenvolveu nas margens férteis do Rio Nilo, cultivadas por agricultores que pagavam anualmente um imposto ao faraó, estas terras precisavam de ser medidas, pois o imposto era cobrado de acordo com a extensão da terra.
 Como não era possível medir grandes extensões usando bastões de comprimento igual a um cúbito, os agrimensores do faraó usavam cordas. Elas continham nós igulamente espaçados. O intervalo entre dois nós podia corresponder, por exemplo, a 5 cúbitos. Esticando essas cordas, era possível medir facilmente grandes distâncias.  


Foi durante a Revolução Francesa que se tomou a iniciativa de unificar, a nível mundial, os padrões de medida. Nessa época havia uma grande confusão entre os vários padrões de medida empregados.
 Assim, em 1790, a Academia de Ciências de Paris criou uma comissão, que incluía matemáticos, pra resolver o problema. Dos trabalhos dessa comissão resultou o metro, um padrão único para medir comprimentos, o qual passou a ser utilizado universalmente.