Divisão de potências com o mesmo expoente

Para dividir potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e dividem-se as bases (divisor diferente de zero).

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ          n pertence ao conjunto dos números naturais  (IN )
                                                e b um número qualquer diferente de zero

an	=	(	a	)	n
bn			b

Exemplo:        8⁵ : 2⁵ =
= 8 x 8 x  8 x 8 x 8 : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 aplicando a propriedade associativa
= (8:2) x (8:2) x (8:2) x (8:2) x (8:2)
=(8 : 2)⁵ 
= 4⁵
  

Divisão de potências com a mesma base

Para dividir potências com a mesma base (diferente de zero), mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

   aⁿ : a^p = a^n - p , n > p                                n, p pertencem ao conjunto

                                                                                dos números naturais  (IN) e  a

                                                                       é  um número qualquer diferente de zero.

Exemplos:   7 ⁸ ÷ 7 ² 
               =  (7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7)  ÷ (7 x 7)
               =  7 ^8 – 2
               = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7
               = 7 ⁶

            35 : 3 =
           = 35 : 31 

           =  3(5-1) = 34

     explicação --> (3x3x3x3) x (3) : (3) = 3(5-1)

Potência de expoente 1 e Potência de expoente zero

Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à base.

5¹ = 5

25¹ = 25 




Sempre que o expoente for igual a zero o seu resultado será igual a 1.

2⁰ = 1

5⁰ = 1

10⁰ = 1
65⁰ = 1 

Multiplicação de potências com a mesma base

Regras para a multiplicação de potências :

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes .



      aⁿ x a^p = a^n + p                   n, p pertencem ao conjunto dos números 
                                                          naturais (IN) e a é um número qualquer




Exemplo:     6 ³ x 6 ² = 
                 = (6 x 6 x 6 )  x   (6 x 6)
                 = 6 ^{3 + 2} 
                 = 6 ⁵

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Regras para a multiplicação de potências :


Para multiplicar potências com o mesmo expoente, mantém-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases.

      aⁿ x bⁿ = ( a x b )ⁿ      n   pertence ao conjunto dos números naturais (IN)
                                                       e a e b  são um um número qualquer


exemplo:   8⁵ x 5⁵ = 
= 8x8x8x8x8 x 5x5x5x5x5 aplicando a propriedade comutativa
= (8x5) x (8x5) x (8x5) x (8x5) x (8x5)
= (8 x 5)⁵  
= 40⁵

Soma ou subtracção de potências

Para somar ou subtrair   potências, calcula-se o valor de cada uma das potências e somam-se ou subtraem-se os resultados. 




Exemplos:                
 3⁴ + 6³ = 81 + 216 = 297


 6^{3   _}  3⁴ =  216  -  81 = 135

Potência

Uma potência é uma forma de representar um produto de factores iguais:

a base indica o factor que se repete
o expoente indica o número de vezes que o factor se repete


lê-se três ao cubo ou três elevado a três




exemplo:

Numa rua há quatro árvores, em cada árvore há quatro ninhos e em cada ninho há 4 passarinhos.

Escreve sob a forma de potência e, em seguida, calcula quantos passarinhos há nas quatro árvores.

Resposta:   
4 árvores
4 ninhos
4 passarinhos
    -------->  4 x 4 x 4 = 4<sup>3 
                  16 x 4 = 64 


Resposta: nas quatro árvores  há  64 passarinhos</sup>

Potenciação

Quando estudamos as primeiras operações matemáticas 
conhecemos uma adição onde todas as parcelas eram iguais.
E descobrimos que essa adição era na verdade uma nova operação matemática denominada Multiplicação. 

Assim, aprendemos que :

     3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 = 12     ou
  

      2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 = 10

E se  na multiplicação  todos os factores são iguais ?

2 x 2 x 2 = 8    ou 
 
3 x 3 x 3 x 3 = 81
A exemplo do que fizera com a adição de parcelas iguais, criou-se uma nova operação

 matemática que se chama  Potenciação e que se define como sendo

 uma multiplicação  de factores iguais.

Para representarmos uma multiplicação onde os fatores são todos iguais (Potenciação),

usamos a seguinte notação :

• 2 x 2 x 2 = 2³ = 8 e lê-se : dois elevado à terceira potência é igual a oito

• 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴ = 81 e lê-se : três elevado à quarta potência 

        é igual a oitenta e um

• 5 x 5 = 5² = 25 e lê-se : três elevado à segunda potência é igual a vinte e cinco

De um modo geral, podemos representar uma potenciação da seguinte forma :

Um pouco de história..Para que servem os NÚMEROS NATURAIS ?

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contacto, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do um, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais que  representamos, como sendo o conjunto dos números naturais(N) do seguinte modo:
                            
                                     N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} 






OBSERVAÇÃO: Um Número Natural é um número inteiro não-negativo.
Nalguns contextos o número natural é definido como um número inteiro positivo, o zero não é considerado como um número natural.
   Os matemáticos usam N para se referir ao conjunto de todos os números naturais.



A Matemática seria  bem menos complicada se existissem só esses números!

Contudo, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem muitos problemas que eles não "conseguem  resolver". 

 Por exemplo,tenta encontrar  um sucessor e um antecessor natural para o zero. Verifica-se que o  zero não tem antecessor natural! 

Ou então será que é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4.

Por estes motivos, é necessário utilizar outros números.( racionais, negativos, reais...)


No nosso dia-a-dia,  deparamo-nos com  quantidades que precisam  de ser representadas por números decimais ou por números negativos  como por exemplo, um saldo negativo no banco ou uma variação negativa de temperatura.

Como sabes:

Todo o número natural, maior que um, ou é primo ou pode ser decomposto num produto de factores primos.

Poderás treinar a Decomposição em factores primos, se clicares nos seguintes links

                números primos  


              Descobre os números primos         


                                             bom treino....

Formulas das áreas e volumes

Planificação da superfície de um cilindro

A superfície lateral do cilindro é um rectângulo em que: o comprimento do rectângulo é igual ao perímetro do círculo da base do cilindro; a largura do rectângulo é igual à altura do cilindro. As bases do cilindro são círculos geometricamente iguais. Exercício de aplicação: Exercício de aplicação de planificação de cilindro