Proporção: igualdade entre duas razões - propriedade fundamental das proporções

A presença da Matemática no nosso quotidiano é de grande importância para algumas tarefas diárias.
 Na cozinha, estamos frequentemente  a utilizar a Matemática. 

Por exemplo, ao utilizarmos uma receita de mousse de chocolate estamos realizando cálculos matemáticos, utilizando a proporção,  na medição da quantidade de ingredientes necessários. 
 

Observa a receita envolvendo os ingredientes necessários para a produção de 10 porções de mousse de chocolate:


Ingredientes (10 pessoas):

200gr de chocolate de culinária
50gr de manteiga sem sal
6 ovos
6 colheres de sopa de açúcar.

Preparação:

Parta o chocolate em pedaços pequenos e junte a manteiga. Leve a derreter em banho maria ou no microondas, com cuidado para não queimar.
Entretanto misture as gemas com o açúcar mexendo bem, e adicione depois o chocolate derretido.
Bata as claras em castelo e adicione suavemente à mistura anterior.
Leve ao frigoríco no mínimo 2 horas antes de servir.


A proporção será utilizada se for necessário aumentar ou diminuir a quantidade de mousse de chocolate. 

Nesta situação, utilizamos a proporção para manter a qualidade do produto caso necessitemos aumentar ou diminuir os ingredientes de acordo com a quantidade de porções necessárias. 

Com base na receita, podemos dobrar, triplicar ou quadruplicar os ingredientes, bem como diminuir pela metade. 


Imaginem que vão fazer uma festa e terão 20 convidados, será  necessário produzir 20 porções , logo devemos multiplicar a quantidade de todos os ingredientes por dois: 

Ingredientes (20 pessoas):

400gr de chocolate de culinária
100gr de manteiga sem sal
12 ovos
12 colheres de sopa de açúcar.


mas, no caso de apenas terem 5 convidados, deveremos  reduzir  pela metade a receita padrão de 10 porções, portanto devemos dividir todos os ingredientes por dois.


Ingredientes (5 pessoas):

100gr de chocolate de culinária
25gr de manteiga sem sal
3 ovos
3 colheres de sopa de açúcar.




Uma proporção é uma igualdade entre  duas razões. 

Considerando a, b, c e d diferentes de zero, podemos afirmar que eles representam uma proporção que se pode escrever das seguintes formas:

Exemplo:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"6 está para 8, assim como 9 está para 12".

Os números,6,8,9 e 12 são chamados de termos da proporção, onde o primeiro e quatro termos chamam-se extremos e o segundo e terceiro meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Nas razões iguais, o produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios ou vice-versa, vejamos as seguintes proporções:

	Produto dos meios = 4x30 = 120 Produto dos extremos = 3x40 = 120
	Produto dos meios = 9x20 = 180 Produto dos extremos = 4x45 = 180
	Produto dos meios = 8x45 = 360 Produto dos extremos = 5x72 = 360

       

 De modo geral, temos que:

       

 logo, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda  a proporção, o produto dos meios é sempre  igual ao produto dos extremos ou vice-versa.

OBS: podes utilizar o seguinte link para calcular o valor de x das proporções: 
 cálculo de proporções    (é só clicares)

                                         PARA PRATICAR, É SÓ CLICARES:


                                          PROBLEMAS COM PROPORÇÕES


     EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão ou grandezas/quantidades comparáveis...

Grandeza ou quantidade comparável: É uma relação numérica estabelecida com um objecto. 

Exemplos de grandezas:

·          altura de uma pessoa;

·          peso de uma pessoa;

·          volume de um sólido;

·          número  de alunos  de uma turma;

·          velocidade;

·         tempo…

ou seja, Grandeza é tudo que  se pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

 Uma Razão é a divisão  de duas grandezas ou o quociente  de duas quantidades comparáveis.

Exemplo 1:

se numa turma tivermos 10 rapazes e 20  raparigas, qual a razão entre o número de rapazes e o número de raparigas?

Generalizando, uma razão permite comparar dois números a e b calculando o quociente entre eles e escreve-se das seguintes formas:

a	, ou a : b ou a / b (com b ≠ 0)
b

nota: ≠ significa diferente

que se lê:    "a razão entre a e b" ou "razão de a para b"

OBSERVAÇÕES: 

• Numa razão a:b, b é sempre diferente de zero  e a e b podem ser ambos números racionais, por exemplo 1,5:3 é uma razão;                                                  RELEMBRA QUE   que numa fração só temos números inteiros

•  Uma percentagem é uma razão. Por exemplo 75% dos alunos da mascararam-se no carnaval:

• Uma razão simplifica-se do mesmo modo que uma fração.

Exemplos de razões:

• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
  Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

          (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
  Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

          (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

• Um pouco de história e a razão...

Vamos recordar um acontecimento que estudaste em História e Geografia de Portugal.

A batalha de Aljubarrota, que se verificou no dia 14 de Agosto de 1385 e que foi determinante para a manutenção da independência de Portugal. 

Nesse dia defrontaram-se 6000 portugueses contra 30000 espanhóis. Sabes que  o exército português ganhou essa batalha, mas qual foi a razão? Ou seja, cada militar português (em média) teve de enfrentar quantos militares espanhóis?

Resolução: 30000 : 6000 = 5

Resposta: Cada militar português (em média) teve de enfrentar 5 militares espanhóis.

  
                         PARA PRATICAR, É SÓ CLICARES:



                          EXERCÍCIOS SOBRE GRANDEZAS


EXERCÍCIOS SOBRE A RAZÃO DE AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Sequências de números e sequências de figuras - REGULARIDADES

No nosso  dia-a-dia estamos envolvidos com sequências, sem mesmo notarmos. Vejamos por exemplo:

• O livro de ponto, onde está registado o nome dos alunos e numa sequência (ordem alfabética);
• Os dias de um mês (1,2,3,...30/31);
• Os dias do ano (1,2,3,...365);
• A numeração das portas  das ruas;
• A numeração dos transportes públicos;
• A numeração dos lugares nos cinemas;
•  E existem , ainda, muitos outros exemplos de sequência que lidamos no nosso dia-a-dia.

O que são sequências de números?

Sequências de números são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou  regra.

Exemplos:

• 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... Sequência de números impares
• 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... Sequência de números pares
• 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Sequência de múltiplos de 3
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...Sequência de quadrados perfeitos

 Concluímos então que sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos com  uma determinada ordem.




EXEMPLO:

Observando a sequência de figuras e seguindo a mesma regularidade,  quantos pontos negros terá a décima figura?

Verifica-se que o número de pontos negros em cada figura é igual ao número de pontos brancos. 
Assim se pode concluir que os pontos negros P (Pnegros) são metade dos pontos que constituem cada figura F(pontos da Figura).

Representando numa tabela:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4
F (pontos da figura)	2	6	12	20
P(Pontos negros)	1	3	6	10

 Também verificamos que a figura seguinte é sempre um “rectângulo” cujos lados aumentam um ponto:

	Figura 1	Figura 2	Figura 3	Figura 4	Figura 5	….	Figura 10
F (pontos da figura)	1x2 = 2	2x3 = 6	3x4 = 12	4x5 = 20	5x6 = 30	….	10x11 =110

Podemos concluir que  a 10ª figura tem 10x11 =110 pontos sendo que, o número de pontos negros são   metade  (110 : 2 = 55)  ou seja  55  pontos negros.

Uma sequência de números é um conjunto de números ordenados que obedece a uma determinada lei de formação, ou seja  possui uma determinada regularidade.

Os elementos que constituem uma sequência chamam-se:

• Termos da sequência são os números de uma sequência.

• A cada termo corresponde uma ordem que  representa a posição em que se encontra o  termo.

Na sequência seguinte: 2,5,8,11,14,17....

11 é um termo e a sua ordem é igual a 4, porque o é o quarto número da sequência.

OBS: A  lei de formação ou expressão algébrica de uma sequência é uma regra que permite conhecer cada termo  da sequência a partir da sua ordem ou dos termos anteriores.

Os números triangulares tem um número de pontos necessários para formar um triângulo equilátero.

Assim, os termos 1, 3, 6, 10, 15, ...

formam a sequência dos números triangulares.

Mas esta sequência também pode ser representada por triângulos isósceles.

 

Os números quadrados são a sequência dos números de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

O 1º termo desta sequência , 1, é a área de um quadrado de lado 1;

O 2º termo desta sequência, 4, é a área de um quadrado de lado 2;

assim, concluímos que:

O 10º termo desta sequência é 100 e o n-ésimo termo desta sequência é o quadrado de n , n² (lei de formação ou expressão algébrica).

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	4	9	16	25	…	n2

Mas observa que :
Cada número quadrado pode ser, também,  obtido à custa do anterior, acrescentando os pontos de um gnomom de"braços" :

Repara que os gnomons também formam uma  sequência: 1, 3, 5, 7, 9,.....
 

  Uma sequência dos números impares cujo lei de formação ou expressão algébrica  é   2n-1 como poderás verificar na seguinte tabela:

Nº de ordem	1	2	3	4	5	…	n
Número de pontos	1	3	5	7	9	…	2n-1

PARA PRATICAR, É SÓ CLICARES:

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE SEQUÊNCIAS

COMPLETA AS SEQUÊNCIAS

Ficha de Avaliação mat6 - sequências e regularidades

Simetria de translação - Frisos e curiosidades sobre frisos e The Amazing Art of MC Escher

O que é um friso?


Um friso é uma banda com um padrão que se repete indefinidamente e onde existem simetrias de translação, todas com uma única direção (geralmente horizontal).

Se olharmos com atenção para algumas peças de cerâmica, para decorações de certas cozinhas e casas de banho e até para determinadas peças de vestuário, encontramos frisos.

Muitas culturas, como a chinesa, a islâmica e a da Grécia Antiga, legaram-nos frisos em diversos objetos que encontramos hoje em museus.








Um friso é uma figura que se prolonga indefinidamente para cada um dos lados.

Como sabemos, há quatro isometrias no plano:

•  reflexão
•  translação
•  rotação
•  e reflexão deslizante

 a que se associam quatro simetrias:

•  simetria de reflexão ou axial
•  simetria de translação
•  simetria de rotação ou rotacional
•  e simetria de reflexão deslizante. 

A reflexão deslizante é a composição de uma reflexão seguida de uma translação com a mesma direção do eixo de reflexão. 


São estas quatro simetrias que nos permitem classificar os frisos, que podem apresentar, além da translação, outras simetrias.

Existem somente sete grupos de frisos:

1. Frisos só com translações 

2. Frisos com reflexões deslizantes e translações

3. Frisos com reflexões de eixo horizontal, reflexões deslizantes e translações

4. Frisos com rotações de meia volta (180º) e translações

5. Frisos com reflexões de eixo vertical e translações

6. Frisos com reflexões verticais, reflexões deslizantes e rotações de meia volta e translações

7. Frisos com reflexões horizontais, reflexões verticais, reflexões deslizantes, rotações de meia volta e translações

Para praticar, é só clicares:


Exercícios de aplicação de frisos

The Amazing Art of MC Escher