Números racionais: revisões

Frações from Helena Borralho

Percentagens no dia a dia...

As percentagens baseiam-se nas   frações centesimais, isto é, aquelas que possuem denominador com valor numérico igual a 100. 

As expressões 10%, 12%, 25%, 50%, 78% e etc, são utilizadas em inúmeras situações do nosso dia-a-dia. 

Vamos tentar  compreender o seu significado com este   exemplo. 
Na aula de EV, o Diogo esteve a pintar mosaicos com as cores disponíveis na sala. Os mosaicos eram quadrados, compostos de 100 quadradinhos. 

Mosaico 1

Do total de 100 quadradinhos, temos que: 14 são azuis e 18 são vermelhos.

ou seja,

Quadrados azuis → 14 de 100 → 14/100= 0,14 → corresponde a 14% do total.

Quadrados vermelhos → 18 de 100 → 18/100=0,18 → corresponde a 18% do total. 


Mosaico 2

Do total de 100 quadradinhos, temos que: 58 são verdes. 

Quadrados verdes → 58 de 100 → 58/100=0,58 → 58% do total.
 

Mosaico 3

Do total de 100 quadradinhos, 36 são vermelhos e 16 são azuis.

 Então:

Quadrados vermelhos → 36 de 100 → 36/100=0,36 → 36% do total. 

Quadrados azuis → 16 de 100 → 16/100=0,16 → 16% do total.

Uma percentagem traduz a comparação entre um número (uma parte) e o número 100 (o todo).

É uma forma de apresentar a razão entre duas grandezas de modo que o denominador é sempre igual a  100.

ou seja uma percentagem é uma razão com consequente 100.

Usa-se o símbolo % para representar uma percentagem.


Exemplo:

A razão entre 1 e 4 será 1/4		= 0,25     isto é, em termos de percentagem:

25/100  =  0,25  =   25%

Inversamente:A percentagem 4% equivale a	4	ou ainda	1	.
	100		25

Exemplos da utilização das percentagens no dia-a-dia :

• Quando se diz que 53% de uma piza é massa, isto significa que, em cada 100 gramas de piza 53 gramas  é massa!

• Na escola da irmã da Ana há  25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

Resposta:    24% de 25 professores---------> 0,24 x 25 = 6

há 6 professores que leccionam matemática

• O gráfico seguinte diz respeito às idades dos alunos de  uma turma  de 5º ano.

2.1  Qual é a percentagem relativa a alunos com 12 anos?

2.2  Sabendo que os alunos com 12 anos são 9, quantos alunos tem a turma?

Resposta:

2.1  100% -( 56% + 8% ) = 

      = 100%  -  64%

      =  36%

A percentagem de alunos com 12 anos é de  36%

2.2 se  36% dos  alunos da turma representam  9 alunos   

 podemos recorrer à fracção decimal  e calcular a fração equivalente

 Concluímos que há 25  alunos na turma.

Adição ou subtração de frações com denominadores iguais e diferentes

Só podemos  adicionar ou subtrair fracções, se tiverem o  mesmo denominador, para isso  somam-se ou subtraem-se  os numeradores e mantém-se o denominador.

1º exemplos de fracções com  denominadores iguais : 

Outros exemplos

2º exemplos de fracções com  denominadores diferentes :

Para somar ou subtrair  frações com denominadores diferentes, uma forma de resolver será calcular  as  frações equivalentes, com  denominadores iguais  através da aplicação do Mínimo Múltiplo Comum (mmc):

Exemplo:  para somar as fracções

calculo  o m.m.c dos denominadores temos m.m.c (5,2) = 10.

	(10:5)=2 2 x 4 = 8		(10:2)=5 5 x 5 = 25
Como as fracções já têm o mesmo denominador. podemos somar os numeradores e manter o mesmo denominador.

Para concluir utilizamos o m.mc para obter as fracções equivalentes e depois somamos ou subtraimos os numeradores  das fracções, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o exemplo 1.  

Números decimais e frações decimais

Transformação de números decimais em frações decimais:

   Observa os seguintes números decimais:

• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .
• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .
• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .
• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 

    Verifica então que:

   Assim:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal:

   Observa as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

   Podemos concluir, então, que:

Para se transformar uma fração decimal num número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Observa ainda  as seguintes  fracções decimais:

Os denominadores são potências de base 10.

Assim:

Denominam-se fracções decimais, todas as fracções que apresentam potências de 10 no denominador. e também se podem representar sob a forma de números decimais, tal como poderão verificar a seguir: 3:10= 0,3 4:100=0,04 19:100= 0,019 48:10000= 0,0048

  

Frações Equivalentes e frações irredutíveis

Frações como estas :

são chamadas de frações equivalentes.

"Equi" indica igualdade. "Valente" significa "que tem valor".

  

Esta situação pode provocar controvérsia: será que  é mesmo igual a ?

Afinal,  é um pedaço só e  são dois pedaços.

Devemos dizer "frações equivalentes" e escrever que são "iguais"?

para não haver dúvidas, podemos dizer e escrever "igual", pois as duas frações representam partes do mesmo tamanho.

  e  são equivalentes ou seja  ==0,666(6)

Simplificar uma fração significa encontrarmos uma fração equivalente  escrita com números primos entre si.

Ou seja, consiste em reduzir o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números.

Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. 

A essa fracção denominamos Fração irredutível.



    Fração Irredutível

Ou  pode-se  simplificar a fração uma única vez. Para isso,  deve-se  identificar o máximo divisor comum aos dois termos.

O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12                              (m.d.c.(24,36)=12). 

Então, simplificamos da seguinte maneira:

     Fração Irredutível




                                                 PARA PRATICAR, É SÓ CLICARES:



          EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES EQUIVALENTES

EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES

EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES

Numeral misto e os exemplos do dia-a-dia

O  numeral  misto ( ou número misto),  é outra forma de representação de uma fração imprópria. São chamados de números mistos por misturar um número inteiro com uma fração.

Observa a figura abaixo:

A fração que representa a parte colorida da figura é:

Repara  que é uma fração imprópria. Agora, nota que  como podes escrever a parte colorida da figura utilizando um número misto:

Podes verificar  que uma das figuras foi colorida completamente( inteira ou unidade). Já o outro rectângulo, das seis partes, apenas duas foram pintadas.

Dessa forma, temos o número misto:

Observa as figuras abaixo e os números mistos que representam a parte que foi colorida.

Podemos  pensar numa situação do nosso dia-a-dia.

Imagina que o Bruno, o Daniel, o Fernando, o Leivy e o Paulo  saíram para comer pizza. Decidiram pedir duas pizzas divididas com  8 fatias cada. Eles conseguiram comer uma pizza inteira e 6 pedaços da outra. 

O número misto que representa a quantidade de pizza que os 5 amigos comeram juntos é:

Sempre que tivermos uma quantidade não inteira maior que 1, podemos utilizar um numeral misto para representar essa quantidade.

Mais um exemplo :  o Bruno tomou dois copos e meio de água

Outro exemplo:


O Ângelo está a preparar cachorros para o seu lanche e de mais 5 dos seus amigos. 
Ao ver que só tem uma lata com 8 salsichas, ficou um bocado indeciso. 

Como é que pode repartir as salsichas de modo a que todos os cachorros fiquem iguais?  

Utilizando um esquema:

Cada um fica com 1 salsicha mais um terço de salsicha.

ou seja, sob  a forma de numeral misto,