Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exacta, por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):
O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M(30) = 0,30,60,90,120,150, ...

• M(60) = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.



Vejamos  outro exemplo:

mmc (5,9) = 45, porque

• M(5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
• M(9) = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.



Máximo divisor comum (mdc):
O  Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:

• D(15) = 1,3,5,15.
• D(20) = 1,2,4,5,10,20.

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, o mdc (15,20) = 5.

Vejamos  outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois


O maior divisor comum entre esses números é 10, portanto mdc(20,30,60) = 10.

• D(20) = 1,2,4,5,10,20
• D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30
• D(60) = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

Decomposição em factores primos

A professora do  Nuno pediu-lhe para escrever todas as multiplicações possíveis  do número 36 com a  seguinte característica:
   -Os divisores só podem ser números primos

Utilizando o esquema seguinte, o Nuno concluiu que :

36 = 2 x 18

                         18 = 2  x  9

                                                  9 = 3 x 3

ou seja  36 =  2 x 2 x 3 x 3

36 = 2² x 3²

Lembras-te que todo  o número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores, vejamos por exemplo:

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2
24 = 2³ x 3


Decomposição do número 50: 
50 = 2 x 5 x 5
50 =  2 x 5²


Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 =   2² x 5



Regra prática para a decomposição em factores primos.:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a decomposição em factores primos do número 630.
Então
630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 3² x 5 x 7

Um pouco de história...O Crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

 

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  

Critério para Reconhecer se um Número é Primo

Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

• resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.

ou

• quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.

Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:

Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:

Concluímos que 221 é um número composto.

Números Primos e números compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.


Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)

11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}


O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …}

Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.


Sabias  que:

• O número 2 é o único número par que é primo.
• O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

Problemas com divisores

A Ericksa, a Inês, a Magda, a Catarina a Rita e a Beatriz ,  organizaram um piquenique, para comemorar a chegada da Primavera, onde convidaram colegas, professores e familiares.



No final,  decidiram tirar uma fotografia aos seus 96 convidados. De quantas maneiras se podem  organizar os convidados, se fizerem menos de 10 filas, todas com o mesmo número de pessoas, sendo que os convidados mais baixos, ficam na primeira fila ?







Como resolver?




Determinamos os divisores de 96 


D96 ={1;2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96}




Uma vez que têm que fazer menos de 10 filas, podem  formar 2, 3, 4,6 ou 8  filas

• 2 filas com 48 pessoas
• 3 filas com  32 pessoas
• 4 filas com 24 pessoas
• 6 filas com 16 pessoas
• 8 filas com 12  pessoas

Concluímos que  para tirar a fotografia,  os convidados podem   organizarem-se de 5 maneiras diferentes.

Divisores de um número

Os divisores de um número natural são todos os números naturais que o dividem, sendo o resto da divisão zero, ou seja que o dividem num número  inteiro de vezes.

Exemplo:
Os múltiplos de um número são exactamente os números que são divisíveis por esse número.
                7 é divisor de 42, porque  42 = 7 x 6


Como encontrar todos os divisores de um número?

Será necessário dividir por todos os números naturais menores ou iguais a ele próprio? Claro que não!!!!

Observa o esquema de todos os divisores de 30.
 

Os divisores descobrem-se aos "pares", por exemplo:
30 : 2 = 15, pois 2 x 15 = 30, por isso 2 e 15 são divisores de 30.

D(30)={ 1, 2,3,4,5,6,10,15,30}

Como sabemos que temos todos os divisores de um número?


No caso do 30 é fácil, porque 30 : 5 = 6, e entre 5 e 6 não há mais nenhum número natural...por isso, sabemos que descobrimos todos.


Mas como sabemos que temos de dividir até ao 5?

Mais tarde aprenderás a raiz quadrada que te permite saber onde parar!

7 é divisor de 42	7 não é divisor de 45

Vejamos ainda  outro exemplo:

Um embalagem possui 18 lápis de carvão. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em caixas com quantidades iguais de lápis?

Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 lápis em cada caixa
2 grupos com 9 lápis em cada caixa
3 grupos com 6 lápis em cada caixa
6 grupos com 3 elementos em cada caixa
9 grupos com 2 elementos em cada caixa
18 grupos com 1 lápis em cada caixa

           Logo, o conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

Múltiplos de um número

 

Múltiplo de um número inteiro é o produto desse número por qualquer número inteiro.

Exemplo 1:

2 X 0 = 0

2 X 1 = 2

2 X 2 = 4

2 X 3 = 6

2 X 4 = 8
...

M2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…} são os múltiplos de 2

Exemplo 2:

4 X 0 = 0

4 X 1 = 4

4 X 2 = 8

4 X 3 = 12

4 X 4 = 16

...

M4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,  …} são os múltiplos de 4


Exemplo 3:

5 X 0 = 0

5 X 1 = 5

5 X 2 = 10

5 X 3 = 15

5 X 4 = 20
...

M5 = {0, 5, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 ,60…} são os múltiplos de 5 

Múltiplos e Divisores

Numa divisão existem alguns termos que tens que conhecer:

• dividendo (número que será dividido)
• quociente (resultado da divisão)
•  divisor (número que divide) 
•  resto (o que sobra da divisão).

 Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exacta e  podemos encontrar múltiplos e divisores.

Por exemplo:

A Catarina  recebeu no Carnaval  123 serpentinas  e decidiu partilhá-las com a Rita e o Bruno. Quantas serpentinas terão cada um? será que sobra alguma ?

quando resolvemos a divisão 123 : 3 encontramos como quociente 41 e resto igual a 0.

Cada um irá receber 41 serpentinas.

Concluímos que essa divisão é exacta (não sobra resto maior que zero), então dizemos que:

• 123 é divisível por 3, pois a divisão é exacta;
• ou que 123 é múltiplo de 3, pois existe um número natural que multiplicado por 3 resulta em 123;
• ou que 3 é divisor de 123, pois existe um número que divide 123 e resulta em 3.

A partir desse exemplo podemos definir múltiplo e divisor como:


Múltiplos são resultados de uma multiplicação de dois números  naturais. Por exemplo, 30 é múltiplo de 6,  pois 6 x 5 = 30.

Exemplos de múltiplos:

M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35, ... }
M(15) = {0,15,30,45,60,75, ... }
M(10) = {0,10,20,30,40,50,60, ... }
M(2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16, ...}

Divisores são números naturais que dividem outros, desde que a divisão seja exacta, por exemplo: 2 é divisor de 10, pois  10: 2 = 5.

Exemplos de divisores:

D(55) = {1,5,11,55}
D(10) = {1,2,5,10}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
D(200) = {1,2,4,5,8,10,20,40,50,100,200}

Critérios de divisibilidade

Os números divísiveis por 2:

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).

Por exemplo:
 são divisíveis por 2 :   46, 188, 234...

 

Os números divísiveis  por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é    3,  6 ou 9 

Por exemplo:
 147     -    1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265    -  1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27    e  2 + 7 = 9 é divisível.

65926      -  6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28    e 2 + 8 = 10  não é divisível por 3.

 

Os números divísiveis  por 4:

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4  - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 
758836    -     36 é par e metade de 36 é 18 que é par então   o número é divisível por 4.

9881654    -   54 é par mas metade não é , então o número não é divisível por 4.

 

Os números divísiveis  por 5:

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Os números divísiveis  por 6:

Se um número for divisível por 2  e por 3 é divisível por 6.

 Os números divísiveis  por 7:

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:
245     -    5 x 2 = 10  e depois 24 - 10 = 14  então é divisível por 7.
1589       -   9 x 2 = 18   e   158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568   -    8 x 2 = 16  e  20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
                     0 x 2 = 0     2044 - 0 = 2044 e novamente
                      4 x 2 = 8     204 - 8 = 196  e novamente
                      6 x 2 = 12   19 - 12 = 7
                       então é divisível por 7.

 

Os números divísiveis  por 8:

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8.  (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

Por exemplo:
772673290168     -    168  é par ,   168:2=84 é par e 84:2= 32 é par  então o número inicial é divisível por 8.

 

Os números divísiveis  por 9:

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo:
3464514   -    3+4+6+4+5+1+4 = 27   e     2 + 7 = 9    então é divisível por 9

4524562   -   4+5+2+4+5+6+2 = 28   e     2 + 8= 10    então não é divisível por 9.

 

 Os números divísiveis  por 10:

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.



Divisão de um número natural por potências de base 10

Vamos ver agora uma  propriedade básica de DIVISÃO por 10.

5 ÷ 10	=	0,5
52 ÷ 10	=	5,2
458 ÷ 10	=	45,8
30 ÷ 10	=	3,0

 

e uma  propriedade básica de DIVISÃO por 100:

5:100 = 0,05

52:100 = 0,52

458:100 = 4,58

50:100 = 0,5

e uma  propriedade básica de DIVISÃO por 1000:

5:1000 = 0,005

52:1000 = 0,052

458:1000 = 0,458

50:1000 = 0,05

Leitura de números decimais

Para ler números decimais, é necessário observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas	Dezenas	Unidades	,	Décimas	Centésimas	Milésimas

Por exemplo, o número 125,876, pode ser escrito na forma:

1 Centena	2  dezenas	5  unidades	,	8 décimas	7 centésimas	6  milésimas

Exemplos:

0,5	Cinco décimas
0,37	Trinta e sete centésimas
0,189	Cento e oitenta e nove milésimas
3,7	Três unidades e sete décimas
10,45	Dez unidades e quarenta e cinco centésimas
150,824	Cento e cinquenta unidades e oitocentos e vinte e quatro milésimas

Multiplicação de um número decimal por uma potência de base 10 (10, 100 e 1000)

 Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.

Exemplos:

7,4 x 10  = 7,4 x 10¹  = 74

7,4 x 100  = 7,4 x 10²    = 740

7,4 x 1000  = 7,4 x 10³    = 7400



0,2475 x 10  = 0,2475 x 10¹ =2,475

0,2475 x 100 = 0,2475 x 10²   = 24,75

0,2475 x 1000 = 0,2475 x 10³  = 247,5

247,5 x 10  = 247,5 x 10¹ = 2475

247,5 x 100 = 247,5 x 10²   = 24750

247,5 x 1000 = 247,5 x 10³   = 247500

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 isso  indica que:
- iremos "aumentar" o número de zeros à direita
-  ou "movimentar" para direita a vírgula
tantas casas quanto indicar o expoente da base 10.

Vejamos  alguns exemplos:

34 x 105	=	5400000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 34
1050 x 102	=	105000		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1050
0,00071 x 104	=	7,1		"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000045 x 103	=	0,045		"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

Multiplicar um número natural por 10, 100 e 1000

Num armazém de papel reciclado, O Nuno, o Samuel e o Leandro empilharam  as caixas  em colunas com o número máximo de 10 caixas.

Em cada caixa existem exactamente 10 embalagens contendo papel cartão, e dentro de cada embalagem existem 10 cartões.

Considerando que existem 100 colunas de caixas, o Nuno, o Samuel e o Leandro pretendem  determinar a quantidade total de:

 cartões existentes em cada caixa, coluna de caixas e no armazém.

A operação a ser realizada é a da multiplicação.

Número de cartões em cada caixa
São 10 embalagens com 10 cartões cada, então: 10 x 10 = 100 cartões em cada caixa.

Número de cartões em cada coluna
 São 10 caixas em cada coluna, se em cada caixa existem 100 cartões temos:
10 x 100 = 1000 cartões em cada coluna.

Número de cartões no armazém 

São 10 caixas em cada coluna com 100 cartões em cada caixa, portanto temos 1000 cartões em cada coluna. Sabemos que são 100 colunas, então: 100 x 1000 = 100 000.

O número máximo de cartões no armazém é igual a 100 000 cartões.



As multiplicações efectuadas podem ser realizadas utilizando regras práticas:

 Multiplicando por 10:

Quando multiplicamos um número por 10, basta acrescentarmos à direita do número um zero.

6 x 10 = 60
2 x 10 = 20
13 x 10 = 130
14 x 10 = 140
70 x 10 = 700
25 x 10 = 250

Multiplicando por 100:

Quando multiplicamos um número por 100, basta acrescentarmos à direita do número dois zeros.

2 x 100 = 200
30 x 100 = 3 000
45 x 100 = 4 500
32 x 100 = 3 200
520 x 100 = 52 000
800 x 100 = 80 000

 Multiplicando por 1000:

Quando multiplicamos um número por 1000, basta acrescentarmos à direita do número três zeros.

 54 x 1000 = 54 000
31 x 1000 = 31 000
250 x 1000 = 250 000
19 x 1000 = 19000
540 x 1000 = 540 000

10 x 1000 = 10 000

Potência de base 10

A Beatriz soube de uma novidade sobre o Justin Bieber  que foi espalhada através do twitter. Essa novidade partiu de uma amiga que a espalhou a 10 amigas através do telemóvel, cada uma dessas 10 amigas telefonou para outras 10, que por sua vez contaram a novidade a outras 10 que disseram a outras 10. Cada pessoa soube apenas por um telefonema.

Quantas ligações foram feitas?

  10 + 10x10   +10x10x10  +   10x10x10x10
=10¹   +  10²      +  10³ +      10⁴
= 10 +   100 +    1000 +   10 000
=110  +  1 000  +10 000

                                                   = 1 110   +  10 000
                                        = 11 110

Podemos concluir que foram feitas 11 110 ligações

10 = 10¹     dez elevado a um = dez 

10 x 10 = 100 = 10²       dez elevado ao quadrado = cem

Um número multiplicado por uma potência de base 10, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Vejamos alguns exemplos:

103	=	1000		Acrescentamos 3 zeros à direita do 1
104	=	10000		Acrescentamos 4 zeros à direita do 1

105	=	100000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 1
102	=	100		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1

Exemplos:
300  = 3 x 100= 3 x 10²

3 000= 3 x 1 000= 3 x 10³

30 000= 3 x 10 000= 3 x 10⁴

360 000 = 36 x 10 000= 36 x 10<sup>4

3 600 000 = 36 x 100 000= 36 x 105
365 000 000= 365 x 1 000 000= 365 x 106</sup>