"A música é um exercício inconsciente de cálculos." Leibniz

segunda-feira, 19 de janeiro de 2015

Propriedades dos divisores








No conjunto dos números naturais podemos identificar múltiplos e divisores de um determinado número.
  • múltiplo de um número é um número se pode obter multiplicando o primeiro por qualquer número natural. Por exemplo, os múltiplos de 2 são todos os números pares, que terminam em 0, 2, 4, 6 e 8.

Em linguagem mais simples os múltiplos de um número designam-se pelos números da tabuada desse número.

Escreve-se:

M2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}
M3={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...}
M10={0,10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}

Podemos concluir que:
- o zero é múltiplo de qualquer número;
- o conjunto de múltiplos de um qualquer número é infinito.

  • divisor de um número é um número que pode dividir o primeiro. Quando se refere a "poder dividir" quer dizer que na divisão inteira o resto é sempre zero.

Em linguagem corrente pode afirmar-se que os divisores de um número são as tabuadas onde aquele primeiro número se encontra.

Por exemplo os divisores de 4, são o 1, 2 e 4. Os divisores de 21 são, 1, 3, 7 e 21.

Escreve-se:

D4={1, 2, 4}
D21={1, 3, 7, 21}
D100={1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

Podemos concluir que:
- um é divisor de qualquer número;
- o conjunto dos divisores de qualquer número é finito.


Podemos observar algumas propriedades dos divisores

  • 1ª propriedade

Num produto de fatores, um divisor de qualquer fator é também divisor do resultado.

   12     x     4    =       28
(3 x 4) x (2 x 2)

28 é então divisível por 3, 4 e 2, ou seja, os divisores do 12 e do 4.

    4        x      10      =      40
(2 x 2)    x   (2 x 5) 

40 é divisível por 2, 4 e 5, ou seja os divisores de 4 e de 10.



  • 2ª propriedade

Se um número natural é divisor de dois outros números, então também é divisor da soma e da diferença desses dois números.

      12      +      4          =    16
 (2 x 6) +  (2 x 2)

O divisor comum entre o 4 e o 12 é o número 2, logo o 2 também é divisor de 16.

    21     -    6      =    15
(3 x 7) -  (3 x 2)

O divisor comum entre 21 e 6 é o número 3, logo 3 também é divisor de 15.


  • 3ª propriedade

Numa divisão inteira, os divisores comuns do dividendo e do divisor também são divisores do resto.













No caso anterior o dividendo é o 9225 e o divisor é o 35. Um dos divisores comuns entre eles é o 5. A 3ª propriedade diz-nos que se o 5 é divisor de 9225 e 35, logo também é do resto, ou seja do número 20!
  • 4ª propriedade

Numa divisão inteira, os divisores comuns ao divisor e ao resto também são do dividendo.

No caso da divisão anterior, se 5 é divisor de 35 e de 20, também é divisor de 9225.





Vejamos então, se percebeste:













quarta-feira, 14 de janeiro de 2015

Os números primos ..... e o crivo de Eratóstenes











Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.





Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D2 = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D3 = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D5 = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D7 = {1, 7)

11 é um número primo, pois D11 = {1, 11}



O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}




Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D4 = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D6 = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D8 = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D9 = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D10 = {1, 2, 5, 10}


Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.


Sabias  que:
  • O número 2 é o único número par que é primo.
  • O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.



Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   


Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.


Visualização do Crivo

Animação do crivo


É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 32 =9.  







quinta-feira, 8 de janeiro de 2015

Um pouco de história sobre o número natural.....











O número natural
Os números naturais tiveram suas origens com os egípcios, partindo da necessidade de se efetuar cálculos rápidos e precisos (já que estavam acontecendo muitos progressos, como a construção das pirâmides, os quais marcaram o fim da Pré-História), pois com o número concreto (pedras, nós ou riscos em ossos) não estava sendo prático. Foi quando surgiram as representações da quantidade de objetos através de desenhos: os símbolos.
Os egípcios baseavam seu sistema de numeração em sete números-chave:
















Estes números eram representados por símbolos:


Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Para os egípcios, a ordem dos símbolos não alterava o número em questão.

Todos os cálculos que os egípcios utilizavam eram baseados na adição de números inteiros, mas com o decorrer do tempo houve a necessidade de expressar uma parte do todo através de um número e para isso os números inteiros não serviam. 

Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Utilizavam apenas frações unitárias, com denominador igual a 1. Outros povos também criaram o  seu próprio sistema de numeração, mas foram os romanos que criaram um sistema de numeração bem mais prático e eficiente.

Os romanos aperfeiçoaram o número concreto, mas não usaram símbolos novos para representar os números, usaram as próprias letras do alfabeto (os números romanos).
Os romanos baseavam seu sistema de numeração em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1000.
Os cálculos que os romanos utilizavam eram baseados na adição e na subtração, dependendo da ordem em que os números-chave apareciam.
Este sistema foi adotado por muitos povos, mas ainda era difícil efetuar cálculos com o mesmo.
Foi quando aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal. Isto aconteceu após o aperfeiçoamento dos símbolos utilizados pelos hindus, quando houve a ideia de introduzir uma notação para uma posição vazia – o zero. Foi quando os dez símbolos que conhecemos hoje em dia foram criados. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Mas foram os árabes que divulgaram ao mundo os números hindus, após traduções de livros vindos da Índia. Os árabes compreenderam o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por isso, o nosso sistema de numeração decimal é conhecido como indo-arábico.
Com este sistema de numeração ficou muito fácil de escrever qualquer número, por maior que ele fosse, e como estes números foram criados para para tornar mais prático contar as coisas da natureza, eles foram chamados de números naturais.

 Os quais tornaram mais fácil a escrita dos números fracionários, que passaram a ser escritos pela razão de dois números naturais e não pela adição de dois fracionários.