Mínimo múltiplo comum (mmc). Relação entre mmc e mdc e resumo sobre os critérios de divisibilidade,as propriedades dos divisores, o mdc e o mmc...

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, ( ZERO é MÚLTIPLO de todos os números) por exemplo: 

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, ( UM  é DIVISOR de todos os números) por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):

O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, diferente de zero, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M₃₀ = 0,30,60,90,120,150, ...

• M₆₀ = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.

Vejamos  outro exemplo:
mmc _(5,9) = 45, porque

• M₅ ={ 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...}
• M₉ = { 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...}

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Qual a  relação entre o m.m.c. e o m.d.c.?

O m.d.c.(a, b) multiplicado pelo m.m.c.(a, b) é igual ao produto de a por b, isto é:

mdc(a, b) x mmc(a, b) = a x b 

            

 exemplo 1:

m.d.c.(12, 15) x m.m.c.(12, 15) = 12 x 15 = 180

mdc(12,15)= 3  (3 é divisor comum maior que existe entre estes dois números.)

mmc(12,15)=60  (60 é múltiplo comum mais pequeno que existe entre estes dois números.)

exemplo 2:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 15 e 20.

1- O primeiro passo é determinar o m.d.c. ou o m.m.c. entre 15 e 20.

2- O m.d.c.(15, 20) = 5, e 5 é divisor comum maior que existe entre estes dois números.

3- Sabendo que 15 x 20 = 300, considerando a relação 

m.d.c.(15, 20) x m.m.c.(15, 20) = 15 x 20

 m.d.c.(15, 20) x m.m.c.(15, 20)  = 300

então:

m.m.c.(15, 20) = 300 :  m.d.c.(15, 20)

m.m.c.(15,20) = 300 : 5 = 60

4- Donde se obtém que o m.m.c.(15, 20) é igual a 300 dividido por 5, 

ou seja m.m.c.(15, 20) = 60.

exemplo 3:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 5 e 20.

 Como podes verificar 5 é divisor de 20  e/ou 20 é múltiplo de 5, logo:

m.m.c.(5,20)= 20

m.d.c.(5,20)= 5

exemplo 4:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 12 e 36.

 Como podes verificar 12 é divisor de 36 e/ou 36 é múltiplo de 12, logo:

m.m.c.(36,12)= 36

m.d.c.(36,12)= 12

exemplo 5:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 4 e 5.

 Como podes verificar 4 e 5 são números primos entre si, logo,

m.m.c.(4,5)= 4x5=20

m.d.c.(4,5)= 1

exemplo 6:

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. entre 11 e 10.

 Como podes verificar 11 e 10 são números primos entre si, logo,

m.m.c.(11,10)= 11x10 =120
m.d.c.(11,10)= 1




Vamos relembrar os múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade:

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