Noção de fração. Leitura de frações

As frações no dia a dia:

 A Fração é considerada  a parte de um inteiro, que foi dividido em partes exactamente iguais. As frações são escritas na forma de números e na forma de desenhos.

Observa alguns exemplos:

O inteiro foi divido em 6 partes, onde 1 delas foi pintada.

O inteiro foi dividido em 9 partes, onde 6 foram pintadas.

O inteiro foi dividido em 4 partes, onde 1 fora pintada.


Na fracção, a parte de cima é chamada de numerador, e indica quantas partes do inteiro foram utilizadas.
A parte de baixo é chamada de denominador, e indica a quantidade máxima de partes em que fora dividido o inteiro.

 Leitura e a representação das seguintes frações:


Um meio

Um terço

Um quarto

Um quinto

Dois sextos



Dois nonos

Cinco sétimos



Três décimos

Quatro oitavos

Quando o denominador da fração é 10, 100 ou 1000, a fração deve ser escrita utilizando décimos, centésimos e milésimos. 

Quatro décimos

Quatro centésimos

Quatro milésimos

Quando o denominador é maior que 10, escrevemos a palavra avos junto ao nome da fração.

Dois treze avos

Cinco dezanove avos

Doze vinte avos

Resumindo: 

Quando o denominador de uma fração for um número menor que 10 particularizamos a leitura dessas  fracções, assim :

2		meios		3/2		lê-se		três meios
3		terços		2/3		lê-se		dois terços
4		quartos		3/4		lê-se		três quartos
5		quintos		4/5		lê-se		quatro quintos
6		sextos		5/6		lê-se		cinco sextos
7		sétimos		3/7		lê-se		três sétimos
8		oitavos		7/8		lê-se		sete oitavos
9		nonos		5/9		lê-se		cinco nonos

Para as frações com denominadores com   potências de base 10 também temos denominações particulares :

10		décimos		3/10		lê-se		três décimos
100		centésimos		7/100		lê-se		sete centésimos
1000		milésimos		23/1000		lê-se		vinte e três milésimos
10 000		décimos de milésimos		37/10 000		lê-se		trinta e sete décimos de milésimos

Para denominadores  de frações maiores que 10 e não decimais lemos o numerador seguido do denominador e a palavra avos  ( lemos ávos ), assim :

5/11		lê-se		Cinco onze avos
8/15		lê-se		Oito quinze avos
11/12		lê-se		Onze doze avos
3/27		lê-se		três vinte e sete avos
18/45		lê-se		dezoito quarenta e cinco avos

Revisões múltiplos e divisores, mdc e mmc,

Multiplos Divisores from tetsu

Relação entre mdc e mmc from Helena Borralho

O mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc)

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:

• 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
• 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo:

• 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

• 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc):
O Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

• M₃₀ = 0,30,60,90,120,150, ...

• M₆₀ = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.

Vejamos  outro exemplo:

mmc _(5,9) = 45, porque

• M₅ = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
• M₉ = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Máximo divisor comum (mdc):

O  Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:

• D₁₅ = 1,3,5,15.
• D₂₀ = 1,2,4,5,10,20.

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, 

o mdc (15,20) = 5.

Vejamos  outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois


O maior divisor comum entre esses números é 10, 

portanto mdc(20,30,60) = 10.

• D₂₀ = 1,2,4,5,10,20
• D₃₀ = 1,2,3,5,6,10,15,30
• D₆₀ = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

Tabela de números primos: O crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  

Decomposição em fatores primos

A professora do  Rui pediu-lhe para escrever todas as multiplicações possíveis  do número 36 com a  seguinte característica:
   -Os divisores só podem ser números primos

Utilizando o esquema seguinte, o Rui concluiu que :

36 = 2 x 18

                         18 = 2  x  9

                                                  9 = 3 x 3

ou seja  36 =  2 x 2 x 3 x 3

36 = 2² x 3²

Lembras-te que todo  o número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores, vejamos por exemplo:

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2
24 = 2³ x 3

Decomposição do número 50: 
50 = 2 x 5 x 5
50 =  2 x 5²


Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 =   2² x 5



Regra prática para a decomposição em factores primos.:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a decomposição em factores primos do número 630.
Então
630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 3² x 5 x 7

Números primos e números compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D₂ = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D₃ = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D₅ = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D₇ = {1, 7)

11 é um número primo, pois D₁₁ = {1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D₄ = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D₆ = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D₈ = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D₉ = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D₁₀ = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Sabias  que:

• O número 2 é o único número par que é primo.
• O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

O Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   

Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.

Visualização do Crivo

É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 3² =9.  





Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

• resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.

ou

• quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.

Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:

Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:

Concluímos que 221 é um número composto.

Múltiplos e Divisores de um número inteiro

Numa divisão existem alguns termos que tens que te relembrar: 

• dividendo  (número que será dividido)
• quociente (resultado da divisão)
•  divisor (número que divide) 
•  resto (o que sobra da divisão).

 Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exacta e  podemos encontrar múltiplos e divisores.

Por exemplo:

A Rita  recebeu no Carnaval  123 serpentinas  e decidiu partilhá-las com a Mónica e o Diogo. 
Quantas serpentinas terão cada um? Será que sobra alguma ?

quando resolvemos a divisão 123 : 3 encontramos como quociente 41 e resto igual a zero.

Cada um irá receber 41 serpentinas.

Concluímos que essa divisão é exacta (não sobra resto maior que zero), então dizemos que:

• 123 é divisível por 3, pois a divisão é exacta;
• ou que 123 é múltiplo de 3, pois existe um número natural que multiplicado por 3 resulta em 123;
• ou que 3 é divisor de 123, pois existe um número que divide 123 e resulta em 3.

A partir desse exemplo podemos definir múltiplo e divisor como:


Múltiplos são resultados de uma multiplicação de dois números  naturais. Por exemplo, 30 é múltiplo de 6,  pois 6 x 5 = 30.

Exemplos de múltiplos:

M₅ = {0,5,10,15,20,25,30,35, ... }
M₁₅ = {0,15,30,45,60,75, ... }
M₁₀ = {0,10,20,30,40,50,60, ... }

Ou seja,  Múltiplo de um número inteiro é o produto desse número por qualquer número inteiro.

Exemplo 1:

2 X 0 = 0

2 X 1 = 2

2 X 2 = 4

2 X 3 = 6

2 X 4 = 8
...

M2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…} são os múltiplos de 2

Exemplo 2:

4 X 0 = 0

4 X 1 = 4

4 X 2 = 8

4 X 3 = 12

4 X 4 = 16

...

M4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,  …} são os múltiplos de 4


Exemplo 3:

5 X 0 = 0

5 X 1 = 5

5 X 2 = 10

5 X 3 = 15

5 X 4 = 20
...

M5 = {0, 5, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 ,60…} são os múltiplos de 5 

Divisores são números naturais que dividem outros, desde que a divisão seja exacta, por exemplo: 2 é divisor de 10, pois  10: 2 = 5.

Exemplos de divisores:

D₅₅ = {1,5,11,55}
D₁₀ = {1,2,5,10}
D₂₀ = {1,2,4,5,10,20}
D₂₀₀ = {1,2,4,5,8,10,20,40,50,100,200}

Exemplo:

A Ana, a Bruna, a Lara, a Mónica, a Erica e a Rita  organizaram um piquenique, para comemorar a chegada da Primavera, onde convidaram colegas, professores e familiares.

No final,  decidiram tirar uma fotografia aos seus 96 convidados. 

De quantas maneiras se podem  organizar os convidados, se fizerem menos de 10 filas, todas com o mesmo número de pessoas, sendo que os convidados mais baixos, ficam na primeira fila ?

Como resolver?

Determinamos os divisores de 96 

D96 ={1;2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96}

Uma vez que têm que fazer menos de 10 filas, podem  formar 2, 3, 4,6 ou 8  filas

• 2 filas com 48 pessoas
• 3 filas com  32 pessoas
• 4 filas com 24 pessoas
• 6 filas com 16 pessoas
• 8 filas com 12  pessoas

Resposta: Concluímos que  para tirar a fotografia,  os convidados podem   organizarem-se de 5 maneiras diferentes.

Resumindo:

Múltiplos e divisores from earana

Agora podes treinar clicando aqui:

Quais são os múltiplos ou divisores de...

Os Critérios de divisibilidade por 2,3,4,5,6,7,8,9 e 10

Os números divisíveis por 2:

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).

Por exemplo:
 são divisíveis por 2 :   46, 188, 234...

 

Os números divisíveis  por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é    3,  6 ou 9 

Por exemplo:
 147     -    1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265    -  1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27    e  2 + 7 = 9 é divisível.

65926      -  6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28    e 2 + 8 = 10  não é divisível por 3.

 

Os números divisíveis  por 4:

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4  - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 
758836    -     36 é par e metade de 36 é 18 que é par então   o número é divisível por 4.

9881654    -   54 é par mas metade não é , então o número não é divisível por 4.

 

Os números divisíveis  por 5:

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Por exemplo:
125  é divisível por 5

302350 é divisível por 5

Os números divisíveis  por 6:

Se um número for divisível por 2  e por 3 também  é divisível por 6.

Por exemplo:
12  é divisível por 6 porque 12:2=6  e 12:3=4

180  é divisível por 6 porque 180:2=90  e 180:3=60

 Os números divisíveis  por 7:

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:
245     -    5 x 2 = 10  e depois 24 - 10 = 14  então é divisível por 7.

1589       -   9 x 2 = 18   e   158 - 18 = 140 então é divisível por 7.

204568   -    8 x 2 = 16  e  20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
                     0 x 2 = 0     2044 - 0 = 2044 e novamente
                      4 x 2 = 8     204 - 8 = 196  e novamente
                      6 x 2 = 12   19 - 12 = 7
                       então é divisível por 7.

 

Os números divisíveis  por 8:

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8.  (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

Por exemplo:
90168     -    168  é par ,   168:2=84 é par e 84:2= 42 é par  então o número inicial é divisível por 8.

 

Os números divisíveis  por 9:

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo:
3464514   -    3+4+6+4+5+1+4 = 27   e     2 + 7 = 9      então é divisível por 9.

4524562   -   4+5+2+4+5+6+2 = 28   e     2 + 8= 10    então não é divisível por 9.

 

 Os números divisíveis  por 10:

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.


Por exemplo:
40  é divisível por 10.

350  é divisível por 10.

1280  é divisível por 10


                            
                              Agora , podes treinar  clicando aqui:

Quais são os divisores de...