"A música é um exercício inconsciente de cálculos." Leibniz

domingo, 3 de março de 2013

Números primos e números compostos

















Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.


Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D2 = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D3 = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D5 = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D7 = {1, 7)

11 é um número primo, pois D11 = {1, 11}



O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}




Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D4 = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D6 = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D8 = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D9 = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D10 = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.



Sabias  que:
  • O número 2 é o único número par que é primo.
  • O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.



Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   


Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.


Visualização do Crivo
Animação do crivo


É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 32 =9.  






Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

  • resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.
ou
  • quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.


Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:



Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:



Concluímos que 221 é um número composto.



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