PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES NUMA EXPRESSÃO NUMÉRICA

Uma expressão numérica é um seguimento de cálculos a serem efectuados, numa única linha de uma folha de caderno.
             
          Exemplo de uma expressão numérica:   2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2

Como resolver?  

Na maioria das vezes, erramos o resultado por não se ter seguido a  ordem em que se  efectuou cada uma das contas da expressão numérica. 

Portanto precisamos sempre  de  seguir as prioridades das operações , para chegar ao resultado  correcto. 

REGRAS de Prioridade:

1.  Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.

Por exemplo:

15 + 7 + 12 -13 =

22 + 12 - 13 =

34 - 13 = 21 

    2.   Nas expressões numéricas efectuamos sempre as multiplicações antes das adições
          e subtracções.

Por exemplo: 

28 - 7 + 15 x 3

= 28 -  7 +  45

= 21  + 45

= 66

      3.   Nas expressões numéricas efectuamos a divisão antes da adição e  subtração. 

Por exemplo: 

 87 - 36 : 3 + 1

= 87 - 12 + 1

=75 + 1

= 76

      4.     Nas expressões numéricas efectuamos a multiplicação e a divisão antes da
              adição e da subtração. 

Por exemplo: 

2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2

= 2 + 12 – 1 + 4

=14 – 1 + 4

= 13 + 4

= 17 

NOTA IMPORTANTE: Para determinarmos uma expressão numérica onde  aparece potências, efectua-se sempre primeiro a potenciação, e só depois é que se  efectuam as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.

Resumindo, para resolver uma expressão numérica, efectuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potências 
2º) parênteses
3°) Multiplicações e divisões
4°) Adições e Subtrações



EXEMPLOS

1)
 5 + 3² x  (5-3) =

=  5 + 9 x 2 =

=  5 + 18 =

=  23


2)
 7² - 4 x 2 + 3 =

=  49 – 8 + 3 =

=  41 + 3 =

=  44


3)
40 - 5² + ( 2³ - 7 ) =

= 40 – 25 + ( 8 - 7 )=

= 40 – 25 + 1 =

= 15 + 1 =

= 16

Agora , podes treinar  clicando aqui: 

A brincar com as expressões numéricas

Introdução à ordem de operações: Ordem de operações

Multiplicação de um número decimal por uma potência de base 10

Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.

Exemplos:

7,4 x 10  = 7,4 x 10¹  = 74

7,4 x 100  = 7,4 x 10²    = 740

7,4 x 1000  = 7,4 x 10³    = 7400



0,2475 x 10  = 0,2475 x 10¹ =2,475

0,2475 x 100 = 0,2475 x 10²   = 24,75

0,2475 x 1000 = 0,2475 x 10³  = 247,5

247,5 x 10  = 247,5 x 10¹ = 2475

247,5 x 100 = 247,5 x 10²   = 24750

247,5 x 1000 = 247,5 x 10³   = 247500

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 isso  indica que:
- iremos "aumentar" o número de zeros à direita
-  ou "movimentar" para direita a vírgula
tantas casas quanto indicar o expoente da base 10.

Vejamos  alguns exemplos:

34 x 105	=	5400000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 34
1050 x 102	=	105000		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1050
0,00071 x 104	=	7,1		"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000045 x103	=	0,045		"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

Multiplicação de um número natural por 10, 100 e 1000

Num armazém de papel reciclado, o Rui, o Diogo e o Fernando empilharam  as caixas  em colunas com o número máximo de 10 caixas.

Em cada caixa existem exactamente 10 embalagens contendo papel cartão, e dentro de cada embalagem existem 10 cartões.

Considerando que existem 100 colunas de caixas, o Rui, o Diogo e o Fernando  pretendem  determinar a quantidade total de:

 -cartões existentes em cada caixa;
 -cartões existentes em cada coluna de caixas;
 -cartões existentes  no armazém.

A operação a ser realizada é a da multiplicação.

Número de cartões em cada caixa
São 10 embalagens com 10 cartões cada, então: 10 x 10 = 100 cartões em cada caixa.

Número de cartões em cada coluna
 São 10 caixas em cada coluna, se em cada caixa existem 100 cartões temos:
10 x 100 = 1000 cartões em cada coluna. 

Número de cartões no armazém 

São 10 caixas em cada coluna com 100 cartões em cada caixa, portanto temos 1000 cartões em cada coluna. Sabemos que são 100 colunas, então:
 100 x 1000 = 100 000.

O número máximo de cartões no armazém é igual a 100 000 cartões.




As multiplicações efectuadas podem ser realizadas utilizando regras práticas:

 Multiplicando por 10:

Quando multiplicamos um número por 10, basta acrescentarmos à direita do número um zero.

6 x 10 = 60
2 x 10 = 20
13 x 10 = 130
14 x 10 = 140
70 x 10 = 700
25 x 10 = 250

Multiplicando por 100:

Quando multiplicamos um número por 100, basta acrescentarmos à direita do número dois zeros.

2 x 100 = 200
30 x 100 = 3 000
45 x 100 = 4 500
32 x 100 = 3 200
520 x 100 = 52 000
800 x 100 = 80 000

 Multiplicando por 1000:

Quando multiplicamos um número por 1000, basta acrescentarmos à direita do número três zeros.

5 x 1000 = 5 000
 54 x 1000 = 54 000
31 x 1000 = 31 000
250 x 1000 = 250 000
19 x 1000 = 19000
540 x 1000 = 540 000

Potências de base 10

A Rita soube de uma novidade sobre o Justin Bieber  que foi espalhada através do twitter. 

Essa novidade partiu de uma amiga que a espalhou a 10 amigas através do telemóvel, cada uma dessas 10 amigas telefonou para outras 10, que por sua vez contaram a novidade a outras 10 que disseram a outras 10. Cada pessoa soube apenas por um telefonema.

Quantas ligações foram feitas?

  10 + 10x10   +10x10x10  +   10x10x10x10
=10¹   +  10²      +  10³ +      10⁴
= 10 +   100 +    1000 +   10 000
=110  +  1 000  +10 000

                                  = 1 110   +  10 000
                                  = 11 110

Podemos concluir que foram feitas 11 110 ligações

10 = 10¹     dez elevado a um = dez 

10 x 10 = 100 = 10²       dez elevado ao quadrado = cem

Um número multiplicado por uma potência de base 10, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Vejamos alguns exemplos:

103	=	1000		Acrescentamos 3 zeros à direita do 1
104	=	10000		Acrescentamos 4 zeros à direita do 1

105	=	100000		Acrescentamos 5 zeros à direita do 1
102	=	100		Acrescentamos 2 zeros à direita do 1

Exemplos:
300  = 3 x 100= 3 x 10²

3 000= 3 x 1 000= 3 x 10³

30 000= 3 x 10 000= 3 x 10⁴

360 000 = 36 x 10 000= 36 x 10<sup>4

3 600 000 = 36 x 100 000= 36 x 105
365 000 000= 365 x 1 000 000= 365 x 106</sup>

Potência de base e expoente natural

Uma potência é uma forma de representar um produto de factores iguais:

a base indica o factor que se repete

o expoente indica o número de vezes que o factor se repete

lê-se três ao cubo ou três elevado a três

exemplo:

Numa rua há quatro árvores, em cada árvore há quatro ninhos e em cada ninho há 4 passarinhos.

Escreve sob a forma de potência e, em seguida, calcula quantos passarinhos há nas quatro árvores.

Resposta:   

4 árvores

4 ninhos

4 passarinhos

    -------->  4 x 4 x 4 = 4³ 

                  ^{16 x 4 = 64} 

^{Resposta: nas quatro árvores  há  64 passarinhos}

Vejamos, então

Uma potência é uma multiplicação em que todos os factores são iguais.

A  vantagem da utilização das potências é a possibilidade de representar   números grandes  de forma simples, facilitando a sua leitura e os cálculos necessários.

No exemplo  seguinte repara que :

5 x 5 x 5, indicada por 5³, ou seja; 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

• 5 é chamado de base (factor que se repete)
• 3 é chamado de expoente (indica o número de vezes que repetimos a base)
• 125 é a potência (resultado da operação)

Leitura das  potências:

5² = 5 x 5 = 25  Cinco elevado à segunda potência ou cinco ao quadrado.

4³ = 4 x 4 x 4 = 64   Quatro elevado a terceira potência ou quatro ao cubo.

2⁴   = 2 x 2 x 2 x 2 = 16   dois elevado à quarta potência

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243  três elevado à quinta potência

Exercícios resolvidos:

1- Sendo 4³ = 64:

• a) Qual é é a base?      
• b) Qual  é o expoente?  
• c) Qual  é a potência?    

Respostas: a) 4   b)3    c) 64

2 – Escreve na forma de potência:

• a) 5 x 5  =        
• b) 3 x 3 x 3 =     
• c) 7 x 7 x 7 =      
• d) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =   

Respostas: a) 5 ²   b)3³    c) 7³  d) 2⁵ 3 – Calcula as potências:

• a) 2³            
• b) 4²                
• c) 5⁴              
• d) 1⁶              
• e) 6²
• f) 24¹

Respostas: a) 2 x 2 x 2 = 8   b) 4 x 4 = 16    c) 5 x 5 x 5 x 5 = 625   d) 1x1x1x1x1x1=1

                    e)  6 x 6 = 36   f) 24

Observação:

•  Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
•  Todo número elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1 (um).

Divisão e identidade fundamental da divisão

O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente.



Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

Na divisão de números naturais, não te esqueças que:

.  O divisor deve ser menor do que o dividendo.

       exemplo:     37 : 5 =  7 

. O dividendo é o produto do divisor pelo quociente mais o resto. 

       exemplo:   35 = 5 x 7 + 2



A isto chamamos IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO:
    
          Dividendo = divisor  x  quociente   +  resto   
                                                                         (resto é sempre menor que o Divisor)

NOTA: para teres a certeza que a divisão está correcta, basta verificar  se é válida a identidade fundamental da divisão.

A divisão pode estar associada a várias ideias: como  partilha, como medida ou como razão.

1- Ideia de partilha:

Exemplo: 

A  Ana que faz hoje anos, comprou 48 chocolates para distribuir igualmente pelos seus colegas de turma:

Quantos  chocolates receberá cada aluno da turma?

                          48 : 12 = 4    pois  4 x 12 = 48 chocolates

Cada aluno receberá 4 chocolates.

2- Ideia de medida:

Se os chocolates forem comprados em  embalagens de  6 unidades cada, quantas embalagens irá  a Inês comprar?

                  

                              48 : 6 = 8     pois   8 x 6 = 48 embalagens

A Ana irá comprar 8 embalagens.

3- Ideia de razão:

A Ana  acabou por comer ao todo 12 chocolates, pois já tinha recebido outros chocolates de prenda de alguns colegas. E os colegas comeram 4 chocolates cada. Se comparamos os números, o que podes observar?

                                   12: 4 = 3

A Ana comeu o triplo  dos chocolates  (três vezes mais)  dos seus colegas.  Pois,  fazia anos...

Exercício de aplicação sobre a multiplicação...várias formas de calcular

O Ângelo, o Fernando e a Rita  resolveram contar os pacotes de leite escolar que sobraram, no último dia de aulas antes das férias da Páscoa. Na arrecadação da escola contaram 9 paletes, cada uma com 24 pacotes de leite.

E agora como vamos fazer para calcular o número de pacotes de leite? – Pergunta o Ângelo.

Tenho uma ideia! Cada um vai calcular como quer e depois vemos se encontramos 
o mesmo número! – Propõe o Fernando. 
Está bem! – Diz o Ângelo e a Rita, ao mesmo tempo.

O cálculo do Ângelo
9 × 2 4 = (1 0 ×2 4)  - (1 ×2 4)
                 2 4 0   -    2 4 
9 × 2 4 =    2 1 6

O cálculo da Rita

9 x 24 = 9 x 20 + 9 x 4 =
         = 20x9 + 4x9
         = 180  +  36
         = 2 1 6

 O cálculo do Fernando

 Compreendes como calcularam o Fernando,  o Ângelo e a Rita? Compara as 

diferentes formas de calcular

Propriedades da Multiplicação:comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro e elemento absorvente

1- Propriedade comutativa:

4 × 5 = 5 × 4  Pode trocar–se a ordem dos factores que o valor do produto não se altera.

2- Propriedade associativa: 

(4 × 5) × 7 = 4 × (5 × 7) Pode substituir-se dois ou mais factores pelo seu produto que o valor do produto não se altera.

3- Propriedade da existência do elemento neutro:

4 × 1 = 1 × 4 = 4 Quando um dos factores é um (1), o produto é igual ao outro factor.

 A unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação.

4- Propriedade da existência do elemento absorvente:

 4 × 0 = 0 × 4 = 0 Quando um dos factores é zero, o produto é igual a zero.

Zero é o elemento absorvente da multiplicação.

5- Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

 exemplos:     4 × (5 + 3) = 4 × 5  +  4 × 3

                                    =  20    +    12

                                    =  32

                    3 x ( 20 + 7) = 3 x 20   +  3 x 7

                                     =     60     +    21

                                     =    81

Multiplicação de Números naturais, exemplos do dia a dia...

A multiplicação pode ser associada a duas ideias:

1- À ideia de adição de parcelas iguais:

 exemplo: Qual o número de  queques de laranja deste prato?

4 + 4 + 4 = 12   ou  3 + 3 + 3 + 3 = 12

 4    x    3   =   12

                                          Factores          Produto

2- À ideia de adição como combinação:

No bar da escola  da Mónica a fruta estava em promoção. 

"leva um iogurte de pêssego ou morango e ganha: 

  1 taça de morangos ou 1 laranja ou 1 pêra ou  1 maçã ou 1 ameixa "

Uma das formas de resolver o problema é fazer uma tabela ou esquema:

  Se a Mónica escolher iogurte de pêssego tem  4 combinações possíveis.

 

 E se escolher iogurte de morango também tem 4 combinações possíveis.

Logo, há 2 x 4 = 8 possibilidades de escolha 

Propriedades da adição: comutativa, associativa e elemento neutro

A adição é a operação fundamental da Aritmética que  tem como finalidade reunir num um só número, todas as unidades de dois ou mais números.

   

 As propriedades da adição são a associatividade, a comutatividade e a existência de elemento neutro.

     



Propriedades da Adição

•  Comutativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

                  Exemplo:

                         2 + 6 = 6 + 2 = 8

•  Associativa

                 No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

                  Exemplo:

                         ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9

•   Elemento Neutro

                 Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

                Exemplo:

                         9 + 0 = 0 + 9 = 9

Números naturais, números consecutivos, sucessor e antecessor..

Conjunto dos números naturais  escreve- se IN

IN={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12...}

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos e é  infinito pelo que, antes de se fecharem as chavetas,  colocam-se  as reticências.

OBS: O zero não é um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem. 

 Se  incluirmos o zero neste conjunto, o seu símbolo será alterado, passando a ser ℕ₀, isto é:

ℕ₀ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Todo o número natural  tem um sucessor, considerando também o zero.

Generalizando, o sucessor de m é (m + 1) se, m é um número natural.

             Exemplos:

                     O sucessor de 0 é 1.

                 O sucessor de 5 é 6.

                 O sucessor de 26 é 27.

    Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

             Exemplos:

                    1 e 2 são números consecutivos

                    12 e 13 são números consecutivos
                    100 e 101 são números consecutivos

   Vários números formam uma colecção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

            Exemplos:

                    1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são números consecutivos

                    22, 23, 24, 25 e 26 são números consecutivos

   Para todo o número natural dado, este tem um antecessor (número que vem antes do número dado), com a excepção do zero.

            
Generalizando, o antecessor de m é (m - 1) se, m é um número natural finito diferente de  zero.

            
                                Exemplos:

                                               O antecessor de 24 é 23
                                       O antecessor de 3 é 2
                                       O antecessor de  100 é 99