SEMPRE A MATHEMATICAR...COM MÚSICA: O triângulo de Pascal...curiosidade

quinta-feira, 9 de fevereiro de 2012

O triângulo de Pascal...curiosidade

Já ouviste falar no triângulo de Pascal ?

O triângulo de Pascal são números dispostos segundo este padrão:

O triângulo de Pascal são números dispostos desta maneira:

$1 \!\;$

$1 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 2 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \!\;$

$1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1\!\;$

O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo, mas recebeu o nome de 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos que o filósofo e matemático Blaise Pascal (1623-1662) fez deste.

O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados esquerdo e direito sempre devem possuir o número $1 \!\;$ .

Cada linha possui um número a mais que a linha anterior. Além disso, o triângulo também possui várias propriedades interessantes que permitem construir com facilidade a linha seguinte.

Propriedade 1:

A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas.

Para ilustrar isto, vamos associar a cada linha do triângulo um número, começando do $0 \!\;$ :

A propriedade diz que a soma de todos os números de uma linha é igual a $2 \!\;$ elevado àquele número que associamos à linha.

E o que significa isto?

Quando dizemos que o número $2 \!\;$ está elevado a $3 \!\;$ , por exemplo, queremos dizer que o $2 \!\;$ foi multiplicado por si mesmo $3 \!\;$ vezes:

$2^3 = \underbrace{ 2 \times 2 \times 2}_{3 \mathrm{vezes}} = 8$

Podes observar na figura o resultado das somas relacionadas à cada linha do triângulo:

Vamos conferir algumas delas:

$2^0 = 1 \!\;$ (qualquer número elevado a $0 \!\;$ dá $1 \!\;$ )
$1 + 1 = 2 = 2^1 \!\;$
$1 + 2 + 1 = 4 = 2 \times 2 = 2^2$
$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$
$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

Propriedade 2

A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.

Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. A figura ilustra melhor a propriedade:

Vamos verificar as somas apontadas na figura:

$1 + 2 = 3 \!\;$

$1 + 7 = 8 \!\;$

$5 + 10 = 15 \!\;$

$20 + 15 = 35 \!\;$

$21 + 7 = 28 \!\;$

Propriedade 3

Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando sempre do $1 \!\;$ a partir da direita. Observa a figura para visualizar melhor:

A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado, como mostra a figura.

Vamos conferir algumas somas:

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \!\;$

$1 + 3 + 6 = 10 \!\;$

$1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 \!\;$

$1 + 6 + 21 = 28 \!\;$

Da mesma forma que foi feito com as propriedades anteriores, podes continuar verificando esta! Mas toma cuidado, as somas das colunas devem começar sempre a partir do primeiro número $1 \!\;$ da coluna.

Propriedade 4

A última propriedade é bem parecida com a anterior, só que, em vez de as somas começarem do lado direito do triângulo, desta vez devem começar do lado esquerdo:

Da mesma forma, você vai encontrar a soma desta diagonal na linha abaixo daquela em que está o último número somado. Também aqui deves ter sempre o cuidado de começar a soma do primeiro número $1 \!\;$ da coluna.

Vamos verificar as somas da figura:

$1 + 2 = 3 \!\;$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \!\;$

$1 + 4 + 10 = 15 \!\;$